Алгебраическое дополнение и минор элемента матрицы. Разложение определителей по строке и столбцу
Минором элемента матрицы А называется определитель матрицы, полученной из А вычеркиванием строки и столбца, содержащих . Минор элемента обозначается как Mij. Рассмотрим выражение (2.1) для определителя матрицы А. Соберем вместе все слагаемые, содержащие элемент и вынесем за скобки. Выражение, оставшееся в скобках, называется алгебраическим дополнением элемента . Обозначается как Akp. Замечание 2.1. Минор и алгебраическое дополнение элемента матрицы существуют только для квадратных матриц! Рассмотрим матрицу (Aij), которая отличается от матрицы А только тем, что на месте элементов в матрице (Aij) стоят их алгебраические дополнения Aij . Транспонируем матрицу (Aij). Полученная таким образом матрица (Aij)T называется союзной матрицей (по отношению к матрице А).
Теорема о связи минора элемента матрицы с его алгебраическим дополнением. Алгебраическое дополнение Aij элемента матрицы А и его минор Mij связаны соотношением . (2.3)
Пример 2.4. Пусть . Тогда M11=1, A11= M11 =1; M13= , A13= M13 = ; M32=2, A32= M32 = .
Теорема о разложении определителя по строке (столбцу).Определитель равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) матрицы на их алгебраические дополнения: Aij (разложение по i-й строке); (2.4) Aij (разложение по j-му столбцу). (2.5) Следствие. Из (2.3), (2.4) и (2.5) следует, что Mij (разложение по i-й строке); (2.6) Mij (разложение по j-му столбцу). (2.7)
Формулы (2.6) и (2.7) служат основой для вычисления определителей методом разложения их по строке (столбцу), который состоит в непосредственном использовании этих формул. Пример 2.5. 1) пусть . Вычисление определителя методом разложения его по второму столбцу: 2A12 + 0A22 + 2A32
2) вычисление определителя четвертого порядка:
.
Теорема об умножении определителей. Пусть A и B – квадратные матрицы размера . Тогда определитель произведения матриц равен произведению их определителей: . (2.8)
Пример 2.6.Пусть , . Тогда , следовательно, . С другой стороны, значит . Таким образом, . Задачи
Вычислить определители второго порядка: 2.1. а) ; б) ; в) ; г) ; д) . 2.2. а) ; б) ; в) ; г) . 2.3. а) ; б) ; с) . Решить уравнения относительно : 2.4. . 2.5. . 2.6. . Вычислить определители третьего порядка: 2.7. а) ; б) ; в) ; г) . 2.8. а) ; б) ; в) ; г) . 2.9. а) ; б) ; в) ; г) . 2.10. а) ; б) ; в) ; г) . 2.11. а) ; б) ; в) . 2.12. а) ; б) ; в) . 2.13. а) ; б) ; в) . 2.14. а) ; б) . 2.15. Показать, что делится на и . 2.16. Показать, что делится на и . Доказать следующие тождества: 2.17. . 2.18. . 2.19. . 2.20. . Решить относительно уравнения: 2.21. а) ; б) ; в) . 2.22. . 2.23. . Решить относительно неравенства: 2.24. . 2.25. . 2.26. . 2.27. . 2.28. .
2.29. Построить графики функций: а) ; б) , . Вычислить определители четвертого порядка: 2.30. а) ; б) ; в) . 2.31. а) ; б) ; в) . 2.32. а) ; б) .
2.33. а) ; б) ; в) . 2.34. а) ; б) ; в) .
Вычислить определители пятого порядка: 2.35. а) ; б) ; в) . 2.36. а) ; б) .
Вычислить определители n-го порядка: 2.37. ; 2.38. . 2.39. . 2.40. .
2.41. . 2.42. Вычислить определитель , где . 2.43. Вычислить определитель , где .
РАНГ МАТРИЦЫ Основные понятия и примеры
Ранг матрицы – это особая числовая функция, заданная на множестве матриц. В отличие от определителя, ранг матрицы существует для матрицы любого порядка. Прежде чем дать определение ранга матрицы, рассмотрим понятие минора матрицы. Минором k-го порядка матрицы А называется определитель матрицы, составленной из элементов каких-либо k выделенных строк и каких-либо k выделенных столбцов исходной матрицы А. Понятие минора k-го порядка широко используется в линейной алгебре. В отличие от минора элемента матрицы, минор k-го порядка не связан с конкретным элементом матрицы и существует для любых, а не только для квадратных матриц. Миноров k-го порядка для любой матрицы может быть много. Например, для матрицы порядка количество миноров k-го порядка определяется числом . Главным, или угловым минором k-го порядка матрицы называется минор, составленный из первых k строк и первых k столбцов этой матрицы. Рангом матрицы А называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы. Обозначается как . Пример 3.1. Пусть , , . Тогда , , .
Любой отличный от нуля минор матрицы, порядок которого равен рангу этой матрицы, называется ее базисным минором.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1605)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |