ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Основные сведения Если задано правило, по которому каждому вектору ставится в соответствие единственный вектор , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в (пишут ). Вектор называется образом вектора , а сам вектор – прообразом вектора . Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа k выполняются соотношения: 1. , 2. . Суммой двух линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством . Произведением линейного оператора на число называется оператор , определяемый равенством . Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством . Нетрудно убедиться, что операторы , , , полученные в соответствии с определениями, являются линейными. Определим нулевой оператор , преобразующий все векторы пространства в нулевые векторы пространства : . Если пространства и совпадают ( ), то оператор отображает в себя. В этом случае можно ввести в рассмотрение тождественный оператор , действующий по правилу . Покажем, что любому линейному оператору может быть поставлена в соответствие матрица А размера , а закон отображения выразится системой линейных уравнений, связывающих координаты образа и прообраза. Действительно, пусть система векторов образует базис в пространстве . Тогда любой вектор можно разложить по данному базису: . Рассмотрим оператор . В силу линейности оператора образ имеет вид . Пусть – базис в пространстве . Поскольку , также является вектором из , то его можно разложить по базису . Пусть . Тогда
. (6.1) С другой стороны, вектор , имеющий в том же базисе координаты , можно записать так: . (6.2) Вследствие единственности разложения вектора по базису правые части соотношений (6.1) и (6.2) равны, откуда получаем систему линейных уравнений
(6.3) Матрица , элементами которой являются коэффициенты в системе (6.3), называется матрицей оператора в базисе . Рангом оператора по определению является ранг матрицы А этого оператора в данном базисе. Таким образом, каждому линейному оператору соответствует матрица в заданном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице соответствует линейный оператор . Действительно, для любого вектора существует единственный вектор , который является результатом умножения матрицы А на : . Данное преобразование является линейным, так как , , где , , а k– скаляр. Отметим, что и что линейное преобразование отображает выпуклое множество из в выпуклое множество, принадлежащее пространству . Пусть – линейный оператор, действующий в пространстве со скалярным произведением . Линейный оператор называется сопряженным к оператору , если для любых векторов выполняется равенство . Для всякого оператора сопряженный оператор существует и единственен. Если оператор в ортонормированном базисе имеет матрицу , то сопряженный оператор в этом же базисе имеет матрицу , где . Матрица называется сопряженной к матрице и для операторов, действующих в , эта матрица равна транспонированной матрице .
Преобразование базиса Координаты вектора зависят от выбора базиса. Пусть вектор в «старом» базисе имеет координаты , а в «новом» базисе – координаты (см. рис.6.1 для случая ).
Рис.6.1. Преобразование базиса
Каждый из векторов «нового» базиса можно выразить в виде линейной комбинации векторов «старого» базиса: 6.4) Полученная система означает, что переход от «старого» базиса к «новому» задается матрицей перехода . Эта матрица не вырождена, так как в противном случае ее строки (а, следовательно, и базисные векторы) оказались бы линейно зависимыми. Обратный переход от «нового» базиса к «старому» базису осуществляется с помощью обратной матрицы . Найдем зависимость между координатами рассматриваемого вектора в «старом» и «новом» базисах. Из формулы (6.1) следует . (6.5) Подставляя выражения из системы (6.4) в левую часть равенства (6.5), после преобразований получим: то есть, в матричной форме . (6.6) Полученные формулы (6.6) представляют собой формулы преобразований координат одного и того же вектора при переходе от «старого» базиса к «новому» базису и наоборот. Пример 6.1. В базисе заданы векторы , , . Показать, что векторы образуют базис и выразить в этом базисе вектор , имеющий в базисе координаты . Решение. Векторы образуют базис, если они линейно независимы. Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются : . Нетрудно показать, что . Следовательно, , и система векторов линейно независима. Связь между базисами выражается следующим образом: Матрица перехода от базиса к базису есть . Нетрудно показать, что . Теперь из (6.6) сразу следует . Таким образом, новые координаты вектора в базисе есть 0,5; 2; –0,5, и вектор может быть представлен в виде .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (670)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |