Квадратичная форма матрицы. Определенность матрицы

Пусть представляет собой произвольный вектор-столбец, состоящий из n числовых элементов, т.е., , а квадратная матрица A имеет размер .

Выражение , где , называется квадратичной формой матрицы A. Из определения операций умножения матриц и транспонирования следует, что .

Если для любого вектор-столбца квадратичная форма матрицы A удовлетворяет условию , то такая матрица называется положительно (отрицательно) определенной.

Пример 1.8.1)Матрица положительно определена, поскольку ее квадратичная форма для любого :

.

2) Матрица отрицательно определена, поскольку ее квадратичная форма для любого :

.

 

Числовые функции от матриц

 

Приведем несколько числовых функций от матриц, применяющихся в различных математических моделях экономики.

Следом матрицы A называется сумма элементов ее главной диагонали: . След определен только для квадратных матриц.

l₁-нормой квадратной матрицы А называется величина .

Евклидовой нормой или l₂-нормой квадратной матрицы А называется величина .

Рангом матрицы называется наибольшее число ее линейно независимых столбцов или строк.

 

 

Задачи

1.1.Доказать следующие свойства алгебраических операций над матрицами:

а) ; ;

б) ; ; ;

в) .

Пусть , . Вычислить следующие выражения:

1.2. ; ; ; .

1.3. ; .

1.4. ; .

Пусть . Вычислить следующие выражения

1.5. ; .

1.6. ; ; .

1.7. Пусть , . Найти матрицы и из уравнений ; .

1.8. Для матриц A и B, заданных в 1.7, решить следующие системы уравнений относительно матриц и :

а) б)

Пусть , , , ,

. Вычислить следующие выражения:

1.9. ; ; ; ; ; ; ; ; .

1.10. ; ; РАМА; ; ; .

1.11. Найти произведение , если:

а) , , ; , , .

1.12. Найти произведения и , если:

а) , ;

б) , .

1.13. Для матриц A и B, заданных в 1.7, решить следующие системы уравнений относительно матриц и :

а) б) в)

1.14. Найти , если .

1.15. Пусть . Найти значения выражений: а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

1.16. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) .

1.17. Вычислить для матриц и выражения:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .

1.18. Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны нулевой матрице.

1.19. . Найти все матрицы второго порядка, квадраты которой равны единичной матрице.

1.20. Как изменится произведение матриц A и B, если:

а) переставить i-ю и j-ю строки матрицы A;

б) к i-й строке матрицы прибавить ее j-ю строку, умноженную на число ;

в) переставить i-й и j-й столбцы матрицы B;

г) к i-му столбцу матрицы B прибавить ее j-й столбец, умноженный на число .

1.21. Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, найти матрицу X из уравнений:

а) ; б) ; в) ,

где , , .

Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить следующие системы уравнений относительно матриц X и Y:

1.22. где , .

1.23. где , , .

Пользуясь свойствами элементарных преобразований матриц, решить систему уравнений относительно матриц X , Y и Z:

1.24. где , , .

1.25. Найти все матрицы, перестановочные с данной;

а) ; б) ; в) ; г) .

1.26. Доказать соотношения:

а) ; б) ; в) .

1.27. Вычислить и для заданных матриц A:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) .

1.28. Вычислить для , , следующие выражения:

а) ; б) ; в) ; г) .

1.29. Найти алгебраические выражения для квадратичных форм заданных матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

1.30. Вычислить значения квадратичных форм матриц:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

1.31. Пусть . Решить относительно уравнения: а) , если ; б) , если .

1.32. Выяснить тип определенности матриц:

а) ; б) ; в) ; г) .

 

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ