Характеристические числа и векторы
Любое линейное преобразование однозначно определяет матрицу А оператора в заданном базисе пространства . Ненулевой вектор называется характеристическим (собственным) вектором квадратной матрицы , принадлежащим ее собственному значению , если после преобразования он переходит в вектор, отличающийся от лишь на постоянный множитель , то есть, если . (6.7) Числовой множитель называется характеристическим корнем (собственным значением) матрицы А оператора . Для любого собственного вектора матрицы А, принадлежащего собственному значению и любого числа вектор также является собственным вектором матрицы А, принадлежащим собственному значению . Многие прикладные задачи экономики сводятся к проблеме отыскания собственных значений и собственных векторов матриц. Уравнение (6.7) может быть представлено в виде . (6.8) Матрица называется характеристической матрицей. Нетривиальное (ненулевое) решение уравнения (6.8) существует лишь в том случае, если определитель характеристической матрицы равен нулю: . (6.9) Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением. Если А – матрица порядка , то характеристическое уравнение является алгебраическим уравнением степени n относительно : . Это уравнение имеет n не обязательно различных корней причем некоторые из них могут быть комплексными числами. Каждому из этих характеристических корней соответствует характеристический вектор, определенный с точностью до постоянного множителя. Пример 6.2. Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид . Уравнение имеет два корня: , . Характеристическими векторами, соответствующими и , являются вектора и , где с – произвольная константа. Произвольные константы часто исключают из рассмотрения, вводя нормализованные векторы. В данном примере нормализованными векторами являются и . Свойства характеристических корней 1. Сумма характеристических корней равна следу матрицы: 2. . 3. Произведение характеристических корней равно определителю матрицы: . 4. Число ненулевых характеристических корней матрицы совпадает с рангом этой матрицы. 5. Характеристическими корнями диагональной матрицы являются элементы ее главной диагонали. 6. Для симметрических матриц все n собственных значений являются вещественными числами.
Согласно теореме Гамильтона-Кэли, матрица А является корнем своего характеристического уравнения: Теорема Гамильтона-Кэли. Пусть характеристическим уравнением матрицы А является уравнение . Тогда справедливо матричное уравнение .
В некоторых случаях интерес представляет задача отыскания собственных векторов, принадлежащих собственному значению . Достаточные условия существования такого собственного вектора вытекает из следующей теоремы. Теорема о единичном собственном значении. Если в матрице А сумма элементов каждого столбца равна 1, то имеется собственный вектор, принадлежащий собственному числу 1.
Во многих связанных с отысканием собственных векторов прикладных задачах экономики содержательный смысл имеют только собственные вектора с положительными компонентами. Условия существования таких векторов даются теоремой Фробениуса-Перрона. Теорема Фробениуса-Перрона. Пусть А – неотрицательная квадратная матрица. Тогда: 1. Максимальное по модулю собственное значение матрицы А неотрицательно. Среди собственных векторов, принадлежащих имеется неотрицательный вектор. 2. В случае все неотрицательные собственные векторы матрицы А положительны и принадлежат только ее максимальному по модулю собственному значению . Кроме того, в этом случае любые два положительных собственных вектора и отличаются лишь числовым множителем, то есть, . Задачи
В задачах (6.1-6.3) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе G. Доказать, что система также является базисом и найти координаты вектора в этом базисе. 6.1. , , , . 6.2. , , , . 6.3. , , , , В задачах (6.4) и (6.5) векторы и заданы своими координатами в некотором базисе. Требуется доказать, что системы векторов и также являются базисами. Найти матрицу перехода от базиса G к базису . 6.4. , , ; , , . 6.5. , , , ; . Найти ортонормированный базис из собственных векторов и матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в некотором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис определен неоднозначно): 6.6. . 6.7. . 6.8. .
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (654)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |