Многомерные пространства

Интерпретацию векторов, как направленных отрезков, можно распространить на многомерное (n-мерное, при ), точечное пространство, то есть на множество точек , каждая из которых представляет собой набор из n чисел, называемых координатами точки: . Рассмотрим точку начала координат в совокупности с каноническим базисом векторного пространства . Совокупность канонического базиса и точки начала координат называется декартовой системой координат. Любой вектор определяет в n–мерном точечном пространстве точку X с координатами . Таким образом, элементы векторного пространства можно интерпретировать либо как точки пространства , либо как направленные отрезки, проведенные в эти точки из начала координат.

На многомерные вектора безо всяких усложнений чисто формально переносятся такие понятия, как модуль или длина вектора, скалярное произведение векторов.

Модуль произвольного n-мерного вектора , определяется формулой ; модуль принято также называть длиной этого вектора, поскольку для обычных двух- и трехмерных пространств длина определяется значением модуля .

Скалярным произведением ненулевых n-мерных векторов и , представленных своими координатами в декартовой системе координат, называется число .

Два вектора и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .

Определим угол между двумя ненулевыми векторами и из следующим образом: . Таким образом, если вектора и взаимно ортогональны, то .

Пусть – произвольный n-мерный вектор. Тогда вектор , определяемый как , называется нормализованным вектором . Нормализованный вектор имеет то же направление, что и вектор , но имеет при этом единичную длину.

Формула отрезка. Отрезком, соединяющим две произвольные точки и , называется геометрическое место точек , удовлетворяющих условию

(5.2)

где .

Формула (5.2) называется формулой отрезка. Любая точка отрезка представляет из себя выпуклую линейную комбинацию крайних точек и этого отрезка.

Множество точек n-мерного пространства называется выпуклым, если оно вместе с двумя любыми своими точками содержит все точки соединяющего их отрезка.

Задачи

Пусть заданы векторы , , , , . Найти следующие линейные комбинации этих векторов:

5.1. . 5.2. . 5.3. .

Заданы те же, что и выше, векторы . Найти вектор из уравнений:

5.4. . 5.5. .

5.6. . 5.7. .

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:

5.8. , .

5.9. , .

5.10. , , .

5.11. , , , .

5.12. , , , .

5.13. Показать, что система векторов { , , } образует базис в .

5.14. Доказать, что если векторы линейно зависимы и вектор не выражается линейно через и , то векторы и различаются лишь числовым множителем.

5.15. Доказать, что если векторы линейно независимы, а векторы линейно зависимы, то вектор линейно выражается через векторы .

5.16. Доказать, что упорядоченная система векторов , не содержащая нулевого вектора, линейно независима тогда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается линейно через предыдущие.

Найти ранг системы векторов:

5.17. , , ,

, .

5.18. , , , .

Найти все значения при которых вектор линейно выражается через векторы :

5.19. , , , .

5.20. , , , .

5.21. , , , .

Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов:

5.22. , , , .

5.23. , , , , .

5.24. , , , , .

Найти ранг и все базисы системы векторов:

5.25. , , .

5.26.

5.27.

5.28. В параллелепипеде векторы , , представлены ребрами соответственно. Построить векторы:

а) ; б) ; в) .

5.29. – медианы треугольника АВС. Доказать равенство .

5.30. – медианы треугольника АВС. Выразить через и векторы .

5.31. ABCDEF – правильный шестиугольник, причем , . Выразить через и векторы .

5.32. Разложить вектор по трем некомпланарным векторам: , , .

5.33. Даны три некомпланарных вектора . Доказать, что векторы , , компланарны.

5.34. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения , при которых векторы , , компланарны.

5.35. Даны три некомпланарных вектора . Вычислить значения и , при которых векторы и коллинеарны.

5.36. Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О. В базисе из векторов и найти координаты:

а) вектора где М – точка пересечения диагоналей параллелограмма;

б) вектора где K – середина стороны AD.

5.37. Определить угол между векторами и , если известно, что и , .

5.38. Зная, что , , и , вычислить .

5.39. , . Вычислить:

а) ; б) ; в) .

5.40. Даны векторы , . Найти координаты векторов: а) ; ; в) .

5.41. Векторы образуют правую тройку, взаимно перпендикулярны и . Вычислить :

а) , б) , в) .

5.42. Доказать, что ; в каком случае имеет знак равенства?

5.43. Доказать тождество

.

5.44. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках А(2, –3, 5), В(0, 2, 1), С(–2, –2, 3), D(3, 2, 4).

5.45. Доказать, что четыре точки А(1, 2, –1), В(0, 1, 5),

С(–1, 2, 1), D(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.