Собственные числа и собственные векторы матрицы
Число называется собственным числом матрицы , если существует ненулевой вектор такой, что . При этом вектор называется собственным вектором матрицы , соответствующим собственному числу . Характеристическим уравнением матрицы называется уравнение . (10) Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А. Рассмотрим систему уравнений , в которой принимает одно из значений . Определитель этой системы в силу (10) равен нулю. Следовательно, система определяет с точностью до постоянного множителя собственный вектор , соответствующий данному собственному числу. Задание 5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы . Решение. Составим характеристическое уравнение матрицы А. , или . Корни этого уравнения являются собственными числами матрицы А. Для отыскания собственных векторов матрицы А используем систему уравнений (11) полагая в ней поочередно . 1. Пусть . Тогда система (11) примет вид: или . (12) Полученную систему решим методом Гаусса. Расширенная матрица системы (12) имеет вид: . Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами второй строки. Получим матрицу , которая является расширенной матрицей системы . Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством . Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где t - любое число, отличное от нуля. 2. Пусть . Тогда система (11) примет вид: . (13) Решим систему (13) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (13) имеет вид: . Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Для этого, сначала переставим первую строку матрицы со второй строкой. Получим: . Теперь умножим элементы первой строки матрицы на 2 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим: . Далее, сложим элементы второй строки матрицы с соответствующими элементами третьей строки. Получим матрицу: , которая является расширенной матрицей системы . Следовательно, , то есть система имеет бесконечное множество решений, определяемых равенством . Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где t - любое число, отличное от нуля. 3) Пусть . Тогда система (11) примет вид: (14) Решим систему (14) методом Гаусса. Расширенная матрица системы (14) имеет вид: . Приведем матрицу к трапециевидному виду с помощью элементарных преобразований. Сначала поменяем первую строку матрицы со второй строкой. Получим: . Умножим теперь элементы первой строки матрицы на 5 и сложим с соответствующими элементами второй строки. Затем умножим элементы первой строки матрицы на (-3) и сложим с соответствующими элементами третьей строки. В результате получим: . Далее, сложим элементы второй строки матрицы соответственно с элементами третьей строки. Тогда получим матрицу: , которая является расширенной матрицей системы . Следовательно, , то есть система имеет бесчисленное множество решений, определяемых равенством . Таким образом, собственным вектором матрицы А, соответствующим собственному числу , является ненулевой вектор, определяемый совокупностью чисел , где t - любое число, отличное от нуля.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (8539)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |