Дифференцирование функций
Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что стремится к нулю. То есть: .
Основные правила нахождения производной Если - и - дифференцируемые функции в точке , (т.е. функции, имеющие производные в точке ), то: 1) ; 2) ; 3) 4) .
Таблица производных основных функций 1. 8. 2. 9. 3. 10. 4. 11. 5. 12. 6. 13. 7.
Правило дифференцирования сложной функции. Если и , т.е. , где и имеют производные, то . Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть зависимость переменной от переменной задана параметрически посредством параметра : , Тогда . Задание 3. Найти производные данных функций. 1) Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:
2) Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем: . 3) Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем: . 4) Решение. Полагая , где , согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим: 5) Решение. Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:
4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя. Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или . Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или . Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем . Правило применимо и в случае, когда . Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя. Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или . Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя. Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к. при . Применим правило Лопиталя: . После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т.к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим: .
5. Исследование функций а) Возрастание и убывание функций Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то возрастает на отрезке . Функция называется убывающей на отрезке ,если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то убывает на отрезке . Если функция является только возрастающей или только убывающей на данном интервале, то она называется монотонной на интервале.
b) Экстремумы функций Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой минимума функции . Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой максимума функции . Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Точка называется стационарной точкой, если или не существует. Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то - точка максимума функции . Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то -точка минимума функции .
a) Направление выпуклости. Точки перегиба График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх на интервале , еслион расположен ниже касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала. Достаточным условием выпуклости вверх графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала. График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , еслион расположен выше касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала. Достаточным условием выпуклости вниз графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала. Точка , в которой меняется направление выпуклости графика функции , называется точкой перегиба. Точка , где или не существует, является абсциссой точки перегиба, если слева и справа от нее имеет разные знаки.
d) Асимптоты Если расстояние от точки графика функции до некоторой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат, то прямую называют асимптотой графика функции. Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой. Если существуют пределы , то прямая является наклонной (горизонтальной при k=0) асимптотой. e) Общее исследование функции Общее исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме: 1. Область определения функции 2. Точки пересечения графика с осями координат 3. Исследование функции на непрерывность, четность / нечетность и периодичность 4. Интервалы монотонности функции 5. Точки экстремума функции 6. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции 7. Асимптоты графика функции 8. График функции.
Задание 5. Исследовать функцию и построить ее график. Решение. 1) Функция определена на всей числовой оси за исключением точки , где знаменатель дроби обращается в нуль. 2) График данной функции пересекает координатную ось в точке , т.к. при . Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью , необходимо решить уравнение . Но данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у графика данной функции нет точек пересечения с осью . 3) Данная функция непрерывна во всей области своего определения. Для исследования функции на четность проверим выполнение условия ; для исследования функции на нечетность проверим выполнение условия . Имеем: . Так как и , то, следовательно, данная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности. Исходная функция не периодична, т.к. для любого . 4) Найдем производную данной функции: . Определим стационарные точки. Для этого приравняем . Получим: . Производная не существует в точке . Но точка не принадлежит области определения данной функции. Следовательно, стационарными точками данной функции являются точки и . Отметим все три точки на числовой оси: Определим знак производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить в производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке. Следовательно, исходная функция убывает на интервале , возрастает на интервале (что показано на рисунке). 5) Так как производная меняет знак при переходе через стационарные точки, то эти точки являются точками экстремума. А именно, - точка максимума, - точка минимума. Максимальное значение функции равно , минимальное значение . 6) Вычислим вторую производную данной функции: . Вторая производная нигде не обращается в нуль, но не существует при . Точка не принадлежит области определения данной функции. Отметим эту точку на числовой оси:
Определим знак второй производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить во вторую производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке. Следовательно, график данной функции является выпуклым вверх в интервале и выпуклым вниз в интервале (что показано на рисунке). Так как вторая производная нигде не обращается в нуль и точка , где не существует, не принадлежит области определения данной функции, то у исходной функции нет точек перегиба. 7) Найдем предел данной функции при слева и справа: , . Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Для нахождения наклонной асимптоты вычислим следующие пределы: . Следовательно, наклонная асимптота графика данной функции имеет вид . 8) Используя полученные данные, построим график исходной функции:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1002)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |