Дифференцирование функций

Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , при условии, что стремится к нулю.

То есть:

.

 

Основные правила нахождения производной

Если - и - дифференцируемые функции в точке , (т.е. функции, имеющие производные в точке ), то:

1) ;

2) ;

3)

4) .

 

Таблица производных основных функций

1. 8.

2. 9.

3. 10.

4. 11.

5. 12.

6. 13.

7.

 

Правило дифференцирования сложной функции. Если и , т.е. , где и имеют производные, то

.

Дифференцирование функции, заданной параметрически. Пусть зависимость переменной от переменной задана параметрически посредством параметра :

,

Тогда

.

Задание 3. Найти производные данных функций.

1)

Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2 таблицы производных, получаем:

2)

Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13 таблицы производных, получаем:

.

3)

Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:

.

4)

Решение. Полагая , где , согласно формуле нахождения производной сложной функции, получим:

5)

Решение. Имеем: Тогда, согласно формуле нахождения производной функции, заданной параметрически, получаем:

 

 

4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производной второго порядка функции называется производная от ее производной, т.е. . Для второй производной используются следующие обозначения: или , или .

Производной - го порядка от функции называется производная от ее производной -го порядка. Для производной -го порядка используются следующие обозначения: или , или .

Правило Лопиталя. Пусть функции и дифференцируемы в окрестности точки , причем производная не обращается в нуль. Если функции и являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при , и при этом существует предел отношения при , то существует также и предел отношения при . Причем

.

Правило применимо и в случае, когда .

Заметим, что в некоторых случаях раскрытие неопределенностей вида или может потребовать неоднократного применения правила Лопиталя.

Неопределенности вида и т.д. с помощью элементарных преобразований легко сводятся к неопределенностям вида или .

Задание 4. Найти предел , пользуясь правилом Лопиталя.

Решение Здесь мы имеем неопределенность вида , т.к. при . Применим правило Лопиталя:

.

После применения правила Лопиталя мы снова получили неопределенность вида , т.к. при . Применяя снова правило Лопиталя повторно, получим:

.

 

5. Исследование функций

а) Возрастание и убывание функций

Функция называется возрастающей на отрезке , если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то возрастает на отрезке .

Функция называется убывающей на отрезке ,если для любых точек и из отрезка , где , имеет место неравенство . Если функция непрерывна на отрезке и при , то убывает на отрезке .

Если функция является только возрастающей или только убывающей на данном интервале, то она называется монотонной на интервале.

 

b) Экстремумы функций

Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой минимума функции .

Если существует -окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности имеет место неравенство , то точка называется точкой максимума функции .

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума.

Точка называется стационарной точкой, если или не существует.

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то - точка максимума функции .

Если существует -окрестность стационарной точки такая, что при и при , то -точка минимума функции .

 

a) Направление выпуклости. Точки перегиба

График дифференцируемой функции называется выпуклым вверх на интервале , еслион расположен ниже касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вверх графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

График дифференцируемой функции называется выпуклым вниз на интервале , еслион расположен выше касательной, построенной к графику функции в любой точке этого интервала.

Достаточным условием выпуклости вниз графика функции на интервале является выполнение неравенства для любого из рассматриваемого интервала.

Точка , в которой меняется направление выпуклости графика функции , называется точкой перегиба.

Точка , где или не существует, является абсциссой точки перегиба, если слева и справа от нее имеет разные знаки.

 

d) Асимптоты

Если расстояние от точки графика функции до некоторой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении точки от начала координат, то прямую называют асимптотой графика функции.

Если существует число такое, что , то прямая является вертикальной асимптотой.

Если существуют пределы , то прямая является наклонной (горизонтальной при k=0) асимптотой.

e) Общее исследование функции

Общее исследование функции рекомендуется проводить по следующей схеме:

1. Область определения функции

2. Точки пересечения графика с осями координат

3. Исследование функции на непрерывность, четность / нечетность и периодичность

4. Интервалы монотонности функции

5. Точки экстремума функции

6. Интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции

7. Асимптоты графика функции

8. График функции.

 

Задание 5. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение. 1) Функция определена на всей числовой оси за исключением точки , где знаменатель дроби обращается в нуль.

2) График данной функции пересекает координатную ось в точке , т.к. при .

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осью , необходимо решить уравнение . Но данное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, у графика данной функции нет точек пересечения с осью .

3) Данная функция непрерывна во всей области своего определения. Для исследования функции на четность проверим выполнение условия ; для исследования функции на нечетность проверим выполнение условия . Имеем:

.

Так как и , то, следовательно, данная функция не обладает ни свойством четности, ни свойством нечетности.

Исходная функция не периодична, т.к. для любого .

4) Найдем производную данной функции:

.

Определим стационарные точки. Для этого приравняем . Получим:

.

Производная не существует в точке . Но точка не принадлежит области определения данной функции. Следовательно, стационарными точками данной функции являются точки и . Отметим все три точки на числовой оси:

Определим знак производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить в производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке. Следовательно, исходная функция убывает на интервале , возрастает на интервале (что показано на рисунке).

5) Так как производная меняет знак при переходе через стационарные точки, то эти точки являются точками экстремума. А именно, - точка максимума, - точка минимума. Максимальное значение функции равно , минимальное значение .

6) Вычислим вторую производную данной функции:

.

Вторая производная нигде не обращается в нуль, но не существует при . Точка не принадлежит области определения данной функции. Отметим эту точку на числовой оси:

 

Определим знак второй производной на каждом интервале. Для этого достаточно подставить во вторую производную любое значение из рассматриваемого интервала. Результаты указаны на рисунке.

Следовательно, график данной функции является выпуклым вверх в интервале и выпуклым вниз в интервале (что показано на рисунке).

Так как вторая производная нигде не обращается в нуль и точка , где не существует, не принадлежит области определения данной функции, то у исходной функции нет точек перегиба.

7) Найдем предел данной функции при слева и справа:

, .

Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой.

Для нахождения наклонной асимптоты вычислим следующие пределы:

.

Следовательно, наклонная асимптота графика данной функции имеет вид .

8) Используя полученные данные, построим график исходной функции: