Метод аналитического преобразования случайных величин

Большинство способов этого метода преобразования основаны на использовании последовательности равномерно распределенных в интервале (0, 1) случайных чисел {xi}. В математической статистике доказывается теорема: если случайная величина Х имеет плотность распределения f(х), то распределение случайной величины Y=F(x) является равномерным в интервале (0,1). Здесь под F(x) понимается функция распределения случайной величины Х. Следовательно, можно поступить наоборот: построив функцию распределения F(x), выбирает случайное число Y из равномерного распределения в интервале (0,1) и определяет то значение аргумента х , для которого F(x) = Y. Полученная таким образом случайная величина Х будет иметь заданную функцию распределения F(x).

Эта же задача может быть решена не только графическими построениями, но и рядом других способов. В частности, аналитический способ основан на обратном преобразовании x = F -1(y), где F -1 - функция, обратная функции F. Это преобразование сводится к решению интегрального уравнения относительно х_i.

,

т.е. определяется такое значение x_i, при котором функция распределения равна y.

Экспоненциальное распределение.

Чтобы получить случайное число x_i, распределенное по экспоненциальному закону, необходимо решить уравнение

После интегрирования получим

Решая относительно x_i и учитывая, что распределение (1-x_i) и x_i эквивалентны, будем иметь

x_i =- 1/ λ*ln x_i

Нормальное распределение.

Функция плотности вероятностей нормального закона распределения имеет вид:

где: математическое ожидание Mx = m; дисперсия Dx = S²_x

Для имитации нормально распределенных случайных величин используется следующее преобразование: x= Mx + u * S_x ,

где u имеет плотность вероятностей

Для получения случайных чисел, подчиненных нормальному закону распределения, можно воспользоваться центральной предельной теоремойтеории вероятностей (теоремой Ляпунова). Сущность теоремы состоит в том, что закон распределения суммы m независимых случайных величин, имеющих один и тот же закон распределения, при неограниченном увеличении числа слагаемых m приближается к нормальному.

В общем случае сумма m равномерно распределенных в интервале (a,b) независимых случайных величин стремиться к нормальному распределению с математическим ожиданием M(x)=m*(a+b)/2 и дисперсией S²_x = m*(a+b)²/12.

Если использовать распределение со значениями a=0; b=1, то суммарное распределение будет иметь следующие параметры: M(x)=m/2 и дисперсией S²_x = m/12.