Основные характеристики системы обслуживания с отказом

СМО с отказами: 1. Если в момент поступления требования свободен хотя бы один узел обслуживания, то требование сразу начинает обслуживаться (любым из свободных узлов). 2. Каждый узел в любой момент времени обслуживает не более одного требования. 3. Каждое требование обслуживается одним узлом. 4. Обслуживание не прерывается. 5. По окончании обслуживания требование покидает систему. 6. Входящий поток является пуассоновским (с параметром l, V0(t)= e−lt). 7. Продолжительность обслуживания есть случайная величина, распределенная по экспоненциальному закону, единому для всех узлов обслуживания ( ). 8. Если в момент прихода требования все узлы в системе обслуживания заняты, требование получает отказ и сразу покидает систему.

Такой системой обслуживания является, например, телефонная станция. Исторически теория массового обслуживания возникла из рассмотрения именно таких систем в исследованиях датского ученого А.К.Эрланга (первые работы относятся к 1909 г.).

Состояние системы — количество требований (k≤N), находящихся в системе (в процессе обслуживания). Число состояний конечно: 0, 1, ..., N. Работа — переход из одного состояния в другое.

N — число узлов обслуживания.

n — среднее количество поступающих требований за ед. t.

r=l/n — загрузка системы.

Функционирование системы с отказом представляет с собой процесс гибели и рождения (марковский процесс, в котором переход из состояния возможен лишь в соседние состояния).

3 формулы Эрланга:

С помощью формул Эрланга можно рассчитать все остальные характеристики СО:

1. P0 — вер-ть того, что система пустая. 2. P>0 = 1− P0.

3. — долю требований, получивших отказ.

4. a=1 − Ротк — доля обслуженных требований относительно всех поступивших — относительная пропускная способность.

Абсолютная пропускная способность — среднее число требований, которое может обслужить СО в ед. времени.

5. А=la — число требований, в среднем проходящих через СМО за ед. t.

6. Ср. число занятых узлов обслуживания

7. Ср. число свободных узлов Мсв = N - Mзан

Для случая когда СМО с отказами содержит всего один узел обслуживания:

P0 = 1/(1+r), Ротк = Р1 = r/(1+r), Мзан = r/(1+r).

54.Мультиколлинеарность

Многофакторная модель имеет вид: . - номер фактора.

Линейная многофакторная модель: .

Уравнение регрессии в матричной форме имеет вид: .

Здесь исходные факторные переменные представлены в форме матрицы:

а коэффициенты представлены в виде вектора-столбца

Эта модель описывает реальные значения с некоторой ошибкой аппроксимации, что может быть в матричной форме выражено так:

Сумма квадратов отклонений фактических значений от расчётных будет представлена так:

Дифференцируя по коэффициентам модели, и приравнивая нулю полученные значения, можно в итоге определить

выражение для определения матрицы оценки коэффициентов многофакторной модели:

Откуда легко получить:

Матрица в условиях мультиколлинеарности явл-ся слабо обусловленной ⇒ нельзя решить задачу (Δ=0).

Последствия мультиколлинеарности:

1. Если даже вычислить определитель, то оценки параметров будут очень неточными.

2. Неточная интерпритация влияния факторов

3. Оценки параметров модели оказываются крайне неустойчивыми

4. Ценность таких моделей крайне низка

Два подхода борьбы с мультиколлинеарностью:

- исключают из совокупности факторов одну или несколько линейно связанных факторных переменных, чтобы вновь полученные элементы корреляционной матрицы были меньше порогового значения 0,8.

- преобразуют факторы в новые переменные, уменьшая тем самым количество переменных (факторный анализ).

Исключение коррелируемых факторов приводит к бессмысленному рез-ту.

МНК в таких ур-ях ориентирует исследователя то на одну плоскость, то на другую, в зависимости от случайных ошибок.

Уравнения системы МНК здесь представлены в виде уравнений гиперплоскостей в отрезках в гиперпространстве коэффициентов модели. Если в однофакторном случае оценки МНК представляют собой точку пересечения на плоскости параметров двух прямых условий МНК, поскольку неизвестных параметров всего два – a0 и a1, и задачу можно изобразить на плоскости, то уже при числе факторов, равном двум, число коэффициентов модели будет равнотрем – a0, a1 и a2. Графически такую задачу оценивания параметров многофакторной модели следует рассмотреть не на плоскости, а в трехмерном пространстве параметров. Действительно, число неизвестных параметров становится равным трем и их можно изобразить в качестве осей трехмерного пространства 0a0, 0a1 и 0a2. В этом случае условия МНК представляют собой систему из трех уравнений с тремя неизвестными, причем каждое из уравнений представляет собой не что иное, как уравнение плоскости в пространстве. Решение системы МНК в данном случае будет представлять собой точку пересечения трех плоскостей в пространстве. Координаты этой точки дают искомые с помощью МНК значения коэффициентов модели. Решение системы МНК, которое представляет собой точку пересечения этих практически параллельных друг другу гиперплоскостей в гиперпространстве, является чрезвычайно неустойчивым - малейшая ошибка в округлении может привести к тому, что гиперплоскости могут, переместясь незначительно, иметь новую точку их пересечения,значительно удаленную от первоначальной. Для повышения устойчивости оценок параметров многофакторных моделей необходимо «развести» гиперплоскости системы нормальных уравнений МНК и устранить тем самым их практическую параллельность.

Лучший вариант – предложить такой вариант получения оценок МНК, при котором гиперплоскости будут перпендикулярны

друг другу – это даст возможность получить устойчивые оценки коэффициентов модели.

После центрирования исходных переменных система нормальных уравнений МНК становится устойчивой и легко находятся коэффициенты: , в которой свободный коэффициент = 0. Для его вычисления необходимо вычислить . Можно сделать вывод, что предварительное центрирование данных при построении многофакторных моделей следует обязательно выполнять, модель будет устойчивой.