Основные свойства гиперболического тангенса

Показательные и логарифмические выражения

 

Показательная функция, гиперболические функции

Показательной функциейназывается функция

,где .

Основные свойства показательной функции.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: не обладает свойством четности.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства:функция положительна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: если функция возрастает для всех ; если –убывает для .

9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось Оу в точке , ось не пересекает.

10. Асимптоты: прямая y = 0 (ось ) является горизонтальной асимптотой.

11. График функции дляa > 1 изображен на рисунке 1, для –на рис. 2.

Из свойств функции следует: неравенство равносильно неравенству:

1) , если ,

2) , если .

 

Показательная функция с основанием , где иррациональное число , называется экспонентой, пишут или .

 

Через показательные выражения с основанием определяются гиперболические функции.

 

Гиперболическим синусом называется функция

.

Основные свойства гиперболического синуса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: нечётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: .

6. Промежутки знакопостоянства:функция отрицательна для , положительна – для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для всех .

9. Точки пересечения с осями координат: .

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рисунке 3.

 

Рис. 3.

 

Гиперболическим косинусом называется функция

 

Основные свойства гиперболического косинуса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: чётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: нулей не имеет.

6. Промежутки знакопостоянства:функция положительна для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наименьшее значение, равное 1, функция принимает при .

8. Промежутки возрастания и убывания: функция убывает при ; возрастает – при .

9. Точки пересечения с осями координат: пересекает ось в точке , ось не пересекает.

10. Асимптоты: асимптот не имеет.

11. График функции изображен на рисунке 4.

 

Рис. 4.

 

Гиперболические тангенс и котангенс определяются через отношение гиперболического синус и косинуса.

Гиперболического тангенсом называется функция

,

.

 

Основные свойства гиперболического тангенса.

1. Область определения: .

2. Множество значений: .

3. Четность и нечетность: нечётная.

4. Периодичность: не периодическая.

5. Нули функции: .

6. Промежутки знакопостоянства:функция отрицательна для ; положительна – для .

7. Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет.

8. Промежутки возрастания и убывания: функция возрастает для .

9. Точки пересечения с осями координат: .

10. Асимптоты: имеет горизонтальные асимптоты и .

11. График функции изображен на рисунке 5.

 

Рис. 5.

 

Гиперболический котангенсом называется функция

, т.е.

.