Типы неравенств и способы их решения
Всюду далее некоторые выражения с переменной. I тип: , (12) где . Если , то решением неравенства (12) является множество всех x из ОДЗ выражения f(x). Если , логарифмированием по основанию a неравенство (12) сводится к равносильному неравенству. При этом существенно учитывается величина основания a: 1) если , то в результате логарифмирования получают неравенство 2) если , то после логарифмирования приходят к неравенству Далее решают в зависимости от вида выражения f(x)
Если исходное неравенство имело знак « » или « », или « », то аналогично знак неравенства меняется на противоположный в случае , и не изменяется, в случае . II тип: ,(13)
Для решения неравенства (13) (или аналогичного ему со знаком ) используют монотонность логарифма: 1) если 0 < a < 1, то неравенство (13) равносильно неравенству , которое решают в зависимости от вида выражений f(x) и g(x). 2) если , то неравенство (13) равносильно неравенству . III тип: ,(14) где – некоторое выражение относительно . Вводят замену переменной и решают относительно переменной y неравенство Найденные в качестве решения промежутки (если такие существуют), записывают в виде неравенств относительно y и затем возвращаются к переменной x. Остается решить полученные показательные неравенства.
Если переменная содержится и в основании степени и в показателе, то такое неравенство называется показательно-степенным.Поскольку изменение знака неравенства зависит от величины основания, то для показательно-степенных неравенств рассматривают два случая, т.е. решают совокупность систем неравенств. Показательно-степенные неравенства решают при условии, что основание степени положительно. В частности, аналогом показательного неравенства (13) является следующее показательно-степенное неравенство . (15) Его решение сводится к решению совокупности: Пример 1. Решить неравенство и в ответе указать меньшее целое решение. Решение. Преобразуем неравенство к виду т.е. Получили неравенство I типа. Решаем логарифмированием по основанию 2. Поскольку основание степени – число 2 и , то знак неравенства сохраняется: . Получили . Определим, между какими последовательными целыми числами находится число . Используя монотонность логарифма, имеем: , т.е. . Тогда . Значит, . Число меньшее целое решение, которое принадлежит промежутку . Получаем ответ: . Пример 2. Решить неравенство . Решение. Запишем неравенство в виде . Получили неравенство II типа. Поскольку основание степени число и , то знак неравенства изменится на противоположный. Получаем неравенство: т.е. и . Получили ответ: Пример 3.Найти сумму целых решений неравенства . Решение. Преобразуем неравенство к виду . Разделив обе части неравенства на получим . Получили квадратное неравенство относительно (неравенство III типа). Заменяем и решаем квадратное неравенство Его решением является , т.е. Возвращаемся к исходной неизвестной величине: Получаем множество решений: xÎ[–2; 0]. Целыми решениями являются числа x = –2, x = –1 и x = 0. Их сумма равна: . Получаем ответ: –3.
Задания
I уровень 1.1. Определите, для каких значений неизвестного выполняется неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) . 1.2. Определите, принадлежит ли множеству решений неравенства: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 1.3. Решите неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16) ; 17) ; 18) ; 19) ; 20) ; 21) ; 22) ; 23) ; 24) ; 25) ; 26) ; 25) 27) ; 28) ; 29) ; 30) ; 31) . 1.4. Решите неравенство графически: 1) ; 2) ; 3) . II уровень 2.1. Решите неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) .
III уровень 3.1. Решите неравенство: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (775)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |