Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называется функция ( ). Свойства логарифмической функции: 1.Область определения: . 2.Множество значений: . 3.Четность и нечетность: функция не обладает свойством четности. 4.Периодичность функции: не периодическая. 5.Нули: функция обращается в нуль при x = 1. 6.Промежутки знакопостоянства: если , то положительна для , отрицательна для ; если , то положительна для , отрицательна для . 7.Наибольшее и наименьшее значения: наибольшего и наименьшего значений функция не имеет. 8.Промежутки возрастания и убывания: если функция убывает для ; если – возрастает для . 9.Асимптоты: прямая x = 0 (ось Oy) – вертикальная асимптота. 10.График функции для изображен на рис.9, а для –на рис. 10.
Рис. 9 Рис. 10 Из свойств функции следует: тогда и только тогда, когда или Функция , если , является обратной для функции , при . Функция , если , является обратной для функции , при .
Пример 1. Определить знак числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Решение. 1. Поскольку основание логарифма больше 1 ( ) и значение, стоящее под знаком логарифма больше 1 ( ), то из свойств логарифмической функции . 2. Для основания логарифма имеем , и для выражения, стоящего под знаком логарифма выполняется . Поэтому . 3. Так как основание логарифма 5 и , а выражение, стоящее под знаком логарифма равно и , то . 4. Для основания логарифма выполняется , а под знаком логарифма число 19 ( ). Поэтому . Пример 2. Сравнить числа: 1) и ; 2) и ; 3) и 3. Решение. 1. Используем тот факт, что логарифмические функции с основанием 11 и 13 монотонно возрастают. Поэтому , . Тогда . 2. Рассмотрим числа и . Так как и , то , и, следовательно, . 3. Известно, что или , если a > 0, b > 0. В нашем случае , тогда , т.е. 3. Пример 3. Установить, между какими последовательными целыми числами находится число . Решение. Поскольку логарифмическая функция с основанием 7 монотонно возрастает, то , , , , . Пример 4. Найти функцию, обратную функции . Построить графики обеих функций в одной системе координат. Решение. Найдем функцию, обратную данной: , , , . , . Построим графики функций: 1) строим график функции : график функции переносим параллельно на 2 единицы право по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy; 2) график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой (рис.11). Рис. 11
Задания I уровень 1.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1.3. Определите знак числа: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.4. Определите, между какими последовательными целыми числами заключается логарифм: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.5. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) и . II уровень 2.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) 5) 6) 2.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2.3. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и ; 6) 7) и ; 8) и . 2.4. Найдите функцию, обратную данной. Укажите область определения и область значений обратной функции. Постройте графики данной функции и обратной в одной системе координат: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) . III уровень 3.1. Найдите область определения функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.2. Постройте график функции: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 3.3. Сравните числа: 1) и ; 2) и ; 3) и ; 4) и ; 5) и . 3.4. Определите, при каких значениях областью определения функции является вся числовая ось. 3.5. Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функции.
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (876)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |