Понятие логарифма и его свойства
Логарифмом числа b (b>0) по основанию а(а>0 а¹1)называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b: (1) Формулу (1) называют основным логарифмическим тождеством. Логарифм числа b по основанию 10 называется десятичным логарифмом и обозначается . Логарифм по основанию e (e = 2,71828…) называется натуральным логарифмом и обозначается . Свойства логарифмов: Пусть . Тогда: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) , ; 7) , ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) тогда и только тогда, когда ; 12) , тогда и только тогда, когда ; 13) , тогда и только тогда, когда .
Обобщенные свойства логарифмов Пусть и выражения с переменной. Тогда: 3*) , где ; 4*) , где ; 5*) , где ; 6*) , где Замечание 1. Следует различать произведение логарифмов и повторный логарифм , . Замечание 2. Степень логарифма может быть записана двумя способами: или . Логарифмированием называется операция нахождения логарифма числа или выражения. Потенцированием называют действие, обратное логарифмированию, т.е. потенцирование – это операция нахождения числа (выражения) по его логарифму. При выполнении этих операций пользуются свойствами логарифмов. Пример 1. Упростить выражение: . Решение. Преобразуем каждое слагаемое отдельно. При этом сделаем ссылку на конкретные свойства логарифмов, приведенные выше. |используем свойство 9| |по свойству 5|= = |по основному логарифмическому тождеству| = . |по свойству 10| , тогда . |по свойству 5| = = |по свойству 2| = . |по свойству 8| = . Таким образом: . Замечание 1. Решение этого примера при одновременном преобразовании всех слагаемых (что и следует делать) выглядит так: Ответ: 5. Пример 2. Вычислить: . Решение.Для преобразования первого и второго слагаемых используем формулу изменения основания логарифма (свойство 9), а затем свойства 3 и 5. = |по свойствам 5 и 2|= = . Для преобразования третьего слагаемого используем свойства 3 – 5: Тогда получаем . Ответ: 30,5. Замечание 2. Подробное описание решения и преобразование всех слагаемых отдельно сделано из соображений доступности объяснений. Целесообразно делать преобразования всего выражения сразу, аналогично тому, как сделано в замечании 1. Пример 3.Прологарифмировать по основанию 10 выражение . Решение.Замечаем, что сделать это можно, если . Тогда
Пример 4. Выполнить потенцирование выражения . Решение. Используем свойства логарифмов 3 – 5 («справа-налево»)
Получаем ответ: . Пример 5. Выразить через и . Решение. Ответ: .
Задания
I уровень 1.1. Найдите число, логарифм которого при основании 2 равен: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 8) ; 9) 1; 10) 2. 1.2. Найдите логарифм числа 729 при основании 1) 9; 2) 3; 3) ; 4) . 1.3. Найдите логарифм по основанию 3 числа: 1) 1; 2) 3; 3) 9; 4) 27; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.4. Найдите число , если: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) . 1.5. Найдите число , если 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 6) . 1.6. Вычислите значение логарифма: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) . 1.7. Упростите выражение: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) . 1.8. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 1.9. Прологарифмируйте выражение по основанию a: 1) , если ; 2) , если ; 3) , если a = 10; 4) , если a = 10; 5) , если ; 6) , если ; 7) , если . 1.10. Выполните потенцирование: 1) ; 2) ; 3) ;
II уровень 2.1. Вычислите: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9) ; 10) ; 11) ; 12) ; 13) ; 14) ; 15) ; 16). . 2.2. Докажите неравенство: 1). ; 2). . 2.3. Известно, что . Выразите заданный логарифм через a и b: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . III уровень 3.1.Вычислите: 1). ; 2). ; 3). ; 4). . 3.2. Упростите до числа: . 3.3. Докажите, что .
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2248)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |