Ускорение в ортогональных криволинейных координатах
Криволинейные координаты считаются ортогональными, если ортогональны их базисные векторы. В приложениях обычно встречается этот случай. Для ортогональных базисных векторов проекции ускорения точки на их направления вычисляем по формулам . (41) Выражая базисные векторы по (36), из (41) получим . (42) Для дальнейших преобразований (42) следует воспользоваться тождествами: , (43) или , (44) или . (45) Тождество (43) . представляет собой известное правило дифференцирования скалярного произведения двух векторов. Докажем справедливость тождеств Лагранжа (44) и (45). Тождество (44) получим из (39) дифференцированием , например, по . Учитывая, что производные с не могут зависеть от , имеем: . Аналогично , . т. е. . Справедливость тождества (44) установлена. Для доказательства тождества (45) продифференцируем из (39) по . Получим: . (46) Учитывая, что не может зависеть от обобщенных скоростей, и дифференцируя ее по времени как сложную функцию времени, имеем: . (47) Правые части (46) и (47) совпадают, так как они отличаются только порядком частного дифференцирования, от которого частные производные не зависят. Следовательно, тождество (45) доказано. Используя тождества, преобразуем выражение в скобках из (42). Получим . (48) Учитывая, что , и вводя функцию , из (42) с учетом (48) имеем: . (49) По формулам (49) можно вычислить проекции ускорения точки на оси, направленные по базисным ортогональным векторам. СКОРОСТЬ И УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ В качестве примера использования полученных формул вычислим скорость и ускорение точки в сферических координатах. Сферическими координатами точки являются величины (рис. 23). Координатной линией для является прямая с базисным вектором . Координатной линией для служит параллель сферы с базисным вектором и координатной линией для – меридиан сферы с базисным вектором . Базисные векторы оказались ортогональными. Декартовы координаты точки через сферические выражаются следующими зависимостями: , , . (50) По формулам (38) вычисляем коэффициенты Ламэ. Имеем: , , , . Проекции скорости на оси, направленные по базисным векторам, определяем согласно (40'). Получаем: , , . (51) Т.к. , то для квадрата скорости и функции имеем: Проекции ускорения на оси, направленные по базисным векторам, вычисляем по формулам (49). Имеем: . . (52) Для вектора ускорения получаем Модуль ускорения будет иметь следующее выражение: Аналогично можно вычислить ранее полученные скорость и ускорение точки в цилиндрических координатах. 2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1300)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |