Скорость в декартовых координатах
Разложим радиус-вектор и скорость точки на составляющие, параллельные осям координат (рис. 6). Получим , , (7) где – координаты точки ; – единичные векторы осей координат; – проекции скорости на оси координат. Учитывая (7), согласно определению скорости, имеем: , , (8) так как вектора не изменяются при движении точки . Точки над означают их производные по времени. Сравнивая (7) и (8), получаем для проекций скорости на декартовы оси координат следующие формулы: , , . (9) Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки. По проекциям определяют числовое значение (модуль) скорости и косинусы углов вектора скорости с осями координат: (10) Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат и в этой плоскости, получим: , , , , . Соответственно: Для прямолинейного движения точки координатную ось, например , направляют по траектории (рис. 7). Тогда , , , , , , . Уравнение годографа вектора скорости Известны уравнения движения точки в декартовых координатах. Получим уравнения годографа вектора скорости. На рис. 8 изображены траектория точки и несколько векторов скорости в выбранном масштабе для различных моментов времени, а на рис. 9 представлен годограф вектора скорости этого движения. Точке на траектории соответствует точка на годографе вектора скорости. Координаты точки , согласно определению годографа, выражаются через проекции вектора скорости на оси координат по формулам: , , . Если оси координат для годографа вектора скорости параллельны соответствующим осям координат, относительно которых заданы уравнения движения точки, то , , . Параметрические уравнения годографа вектора скорости принимают такую форму: , , . Исключая из этих уравнений параметр , получим уравнения годографа вектора скорости в координатной форме. Годограф вектора скорости дает наглядное представление о скоростях движущейся точки в разные моменты времени. Он также позволяет определить направление вектора ускорения, так как ускорение параллельно касательной к годографу вектора скорости. Ускорение точки в декартовых координатах Разложим ускорение точки на составляющие, параллельные осям декартовой системы координат. Получим , (11) где – проекции ускорения на координатные оси. Согласно определению ускорения и формулам (7) и (8), имеем . (12) Сравнивая (11) и (12), получаем формулы для проекций ускорения на оси декартовой системы координат: , , . (13) Проекция ускорения на какую-либо координатную ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты движущейся точки. Числовое значение ускорения и косинусы углов вектора ускорения с осями координат определяем по формулам . (14) При движении точки по плоскости, оси и выбирают в этой же плоскости. Тогда , . Формулы для ускорения и его проекций на оси координат примут вид , , . Соответственно Для прямолинейного движения ось направим по траектории точки. Тогда, , , , . Формулы для ускорения и его проекций на ось примут вид: , , .
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2226)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |