Основные формулы и правила комбинаторики

Комбинаторика – раздел элементарной математики, в котором изучают количества комбинаций, подчиненных определенным условиям и составляемых из конечного набора элементов (множества) безразлично какой природы.

Формулы и правила комбинаторики используют при непосредственном вычислении вероятностей (по формуле (1.1)).

Формулы комбинаторики

Перестановки – комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только их порядком.

Количество перестановок без повторений

(1.2)

Пример:

1. Сколько трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, если каждая цифра в числе содержится один раз?

Решение

- количество цифр

123, 132, 213, 231, 321, 312.

2. Сколько четырехзначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3 не повторяя их?

Решение.

(1,2,3,0)

Учитывая, что число с нулем на первом месте является трехзначным, подсчитаем количество таких чисел:

(1,2,3)

Тогда .

Размещения – комбинации, составленные из различных элементов, взятых по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений без повторений:

(1.3)

Формулы (1.3) и (1.2) связаны между собой формулой при

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 21, 23, 31, 32

Число размещений с повторениями

(1.4)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе могут повторяться?

Решение:

11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33.

Сочетания – комбинации, составленные из различных элементов, взятых по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Числовозможных сочетаний безповторений

(1.5)

Пример. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, если цифры в числе не повторяются?

Решение:

12, 13, 23.

Формулы (1.2), (1.3) и (1.5) связаны между собой следующей формулой

(1.6)

Правила комбинаторики

Правило суммы – если объект может быть выбран из совокупности объектов способами, а объект - способами, то выбрать либо , либо можно способами.

Пример. В корзине белых шаров и черных шаров. Из корзины вынимают два шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми или черными.

Решение:

- событие «вытащили оба шара белые»

- событие «вытащили оба шара черные»

- событие «вытащили оба шара белые или оба шара черные»

Правило произведения – если объект можно выбрать из совокупности объектов способами и после каждого такого выбора объект можно выбрать способами, то пара объектов и в указанном порядке может быть выбрана способами.

Пример. В партии из изделий бракованных. Из партии выбирают наугад изделий. Определить вероятность того, что среди этих изделий будет ровно бракованных.

Решение.

Общее число случаев равно , число благоприятных случаев , откуда вероятность интересующего нас события по (1.1)

(1.7)

Формула (1.7) получила название гипергеометрической формулы для расчета вероятностей.