Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ

Дифференциальная функция распределения непрерывной двумерной СВ (плотность распределения непрерывной двумерной СВ, двумерная плотность вероятностей) - это вторая смешанная производная от функции распределения

(4.4)

или (что следует из определения производной) - это предел отношения вероятности попадания случайной точки в элементарный участок плоскости, примыкающий к точке , к площади этого участка, когда его размеры стремятся к нулю.

Поверхность, изображающая функцию называется поверхностью распределения.

Интегральная функция выражается через формулой

(4.5)

Величина называется элементом вероятности для системы двух СВ и равна вероятности попадания случайной точки в элементарный прямоугольник со сторонами , , примыкающий к точке .

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область определяется формулой

(4.6)

Для прямоугольной области

Свойства :

1. есть неотрицательная функция .

2. Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от равен 1

Если все возможные значения принадлежат конечной области , то

Плотности отдельных величин, входящих в систему двух СВ, можно вычислить через совместную плотность

(4.7)

Пример. Система двух СВ подчинена закону распределения с плотностью

Найти коэффициент , , вероятность попадания случайной точки в квадрат, центр которого совпадает с началом координат, а стороны имеют длину равную 2.

Решение.

Из условия находим

 

Из формулы (4.5)

По (4.6)

 

4.3 Числовые характеристики системы двух СВ

 

Математическое ожидание системы двух СВ :

- для дискретной

(4.8)

- для непрерывной

Математическое ожидание составляющих системы двух СВ :

- если - ДСВ

(4.9)

- если - НСВ

(4.10)

Дисперсия системы двух СВ :

- для дискретной - для непрерывной

(4.11)

Дисперсия составляющих системы двух СВ :

- если - ДСВ

(4.12)

- если - НСВ

(4.13)

Начальный момент порядка системы двух СВ - МО произведения :

- для дискретной

(4.14)

- для непрерывной

В частности ,

Центральный момент порядка системы двух СВ - МО произведения отклонений соответственно -ой и -ой степеней:

- для дискретной - для непрерывной

(4.15)

В частности

, ,

,

Для характеристики связи между СВ и СВ системы двух СВ служит смешанный центральный момент порядка , который получил название корреляционный момент (или ковариация)и обозначается .

Для дискретной : Для непрерывной :

(4.16)

Абсолютная величина не превышает среднего геометрического и

Размерность равна произведению размерностей СВ и .

Для характеристики связи между СВ и СВ системы двух СВ независимо от выбора единиц измерения СВ и служит коэффициент корреляции , равный отношению к произведению СКО и СКО

(4.17)

или

, где

- нормированные СВ с МО=0 и СКО=1.

Абсолютная величина не превышает единицы .

есть величина безразмерная. Коэффициент корреляции характеризует степень тесноты линейной зависимости между СВ и СВ . Если Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью вида , где не случайны, то , где знак «+» или «-» берется в соответствии со знаком коэффициента .

Пример. Для дискретной двумерной СВ , заданной таблично рассчитать числовые характеристики.

Решение.

по (4.8)

 

и по (4.9)

 

 

по (4.11)

и по (4.12)

 

по (4.16)

верно

по (4.17)

верно.