Основные (типовые) законы распределения НСВ

НСВ имеет равномерноераспределениена участке , если ее плотность на этом участке постоянна:

График имеет вид:

Функция распределения

Равномерное распределение зависит от двух параметров и .

Числовые характеристики:

(3.25)

Частный случай равномерного закона распределения НСВ – НСВ равномерно распределенная на интервале (0,1), для которой

, ,

Значения НСВ называются случайными числами.

Вероятность попадания НСВ в результате испытания в интервал равна его длине:

НСВ имеет показательное (экспотенциальное) распределение, если её плотность выражается формулой:

где - постоянная положительная величина.

График имеет вид

Функция распределения

График функции

 

Показательное распределение зависит от одного параметра .

Числовые характеристики:

(3.26)

т.е.

Вероятность попадания НСВ , распределенной по показательному закону, в интервал вычисляется по формуле:

(3.27)

Пример:

1. По соединительной линии между пунктами и осуществляются телефонные разговоры со средней длительностью 4 мин. для направления и 3 мин. для . Вызовы составляют 55% всех вызовов. Найти вероятность того, что некоторый разговор длится дольше 6 минут.

Решение.

Длительность разговора в телефонных сетях (время занятости линии связи) имеет показательное распределение. Если - средняя длительность разговора, то - интенсивность освобождения линии связи.

И вероятность того, что разговор случайной длительностью закончится до момента :

(3.28)

а вероятность того, что разговор не закончится до момента :

(3.29)

Тогда

По формуле полной вероятности (2.20)

. Элемент отказывает в среднем 1 раз за 50 часов непрерывной работы. Считая, что время безотказной работы распределено по показательному закону, найти вероятность отказа за 100 часов.

Решение.

Пусть элемент начинает работать в момент , а через время происходит отказ. Обозначим через НСВ - время безотказной работы элемента.

Тогда интегральная функция

(3.30)

определяет вероятность отказа за время , а функция надежности

(3.31)

где - интенсивность отказов ;

определяет время безотказной работы за время .

Из анализа формулы следует, что вероятность безотказной работы элемента на интервале не зависит от времени работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени .

НСВ имеет общее нормальное распределениес произвольными значениями и , если её плотность

(3.32)

или нормированное распределениес параметрами и , если её плотность

(3.33)

есть функция Гаусса и имеет свойства:

- четности ;

- если , то ;

- табулирована на отрезке .

График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса)

Нормальная кривая.

1. Определена на всей оси

2. Принимает только положительные значения.

3. Ось является горизонтальной асимптотой графика .

4. Имеет только один максимум в точке .

5. Симметрична относительно прямой .

6. Точки на кривой с координатами

являются точками перегиба.

При изменении форма нормальной кривой не изменяется, она сдвигается вдоль оси вправо, если возрастает и влево, если уменьшается.

Изменение изменяет форму нормальной кривой. При возрастании кривая становится более пологой, т.е. прижимается к оси . При уменьшении кривая становится более острой.

Интегральная функция общего нормального распределения

(3.34)

а нормированного распределения

(3.35)

есть функция Лапласа

(3.36)

Функция Лапласа обладает свойствами:

- нечетности ;

- если , то ;

- монотонно возрастает (если , то );

- табулирована на отрезке .

Нормальное распределение зависит от двух параметров и .

Вероятность попадания НСВ в интервал

(3.37)

Если участок симметричен относительно точки , то вероятность попадания в него

,

где - половина длины участка.

Пример:

1. Проверить правило 3-х сигм

Решение.

т.е. возможные значения нормальной НСВ попадут в интервал с вероятностью .

2. На автоматическом токарном станке изготовляют болты, номинальная длина которых 40мм. В процессе работы станка наблюдаются случайные отклонения, распределенные по нормальному закону с и . При контроле бракуются все болты, размеры которых отличаются от номинального больше, чем на 2мм. Найти отклонение, если известно, что брак составляет 10% всей продукции.

Решение.

- отклонение размера случайно взятого болта от номинального

Нормальный закон является наиболее важным, как в теории, так и на практике, т.к. большинство наблюдаемых явлений подчиняются этому закону и он считается предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при определенных часто встречающихся типичных условиях.