Статистическая вероятность

Статистическая вероятность (частота, относительная частота) события – это отношение числа испытаний, в которых событие появилось к общему числу фактически произведенных испытаний. Определяется следующей формулой для события

, (1.10)

где – число появлений события;

– общее число фактически проведенных испытаний.

Другими словами статистическая вероятность – это вероятность события, рассчитанная опытным путем. Используется в случае невозможности использования формулы (1.1), из-за трудностей представления результата испытания в виде совокупности элементарных равновозможных исходов.

Свойства статистической вероятности:

1-4. Аналогичны свойствам 1-4 теоретической вероятности.

5. Свойство устойчивости, состоящее в том, что при различных сериях опытов частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа, которое называют вероятностью.

Пример. Если бросать монету очень часто, то можно заметить, что отношение числа бросаний с выпадением «герба» к общему числу бросаний мало отличается от ½ и тем менее отклоняется от ½, чем больше совершено бросаний.

Основные теоремы теории вероятностей

Теорема умножения вероятностей

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном появлении событий и .

Произведением нескольких событий , ,… называется событие , состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Пример:

1. Если событие - появление туза при вынимании карты из колоды, событие - появление карты бубновой масти, то событие есть появление туза бубновой масти.

2. Если по мишени производится три выстрела и рассматриваются события - промах при первом выстреле, - промах при втором выстреле, - промах при третьем выстреле, то событие состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

Теорема умножения 1

Вероятность произведения двух событий и равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило

, (2.1)

если в качестве первого события взять

, (2.2)

если в качестве первого события взять .

, - условные вероятности событий и соответственно.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленную в предположении, что событие уже наступило.

Пример. Студент знает 20 билетов из 30. Он тянет билет шестым. Найти вероятность того, что он сдаст экзамен (событие ), если первых 5 человек вытащили 5 известных ему билетов (событие ).

Решение.

Из формулы (2.1) можно получить формулу для вычисления условной вероятности

(2.3)

Формула (2.3) может быть использована при условии .

Пример. Проверить формулу (2.3) для предыдущего примера.

находим по (1.7) при , , , .

определяем по (1.7) при , , , .

Два события и называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого, т.е. условная вероятность события равна его безусловной вероятности или, условная вероятность события равна его безусловной вероятности

(2.4)

.

Если событие не зависит от события , то и событие не зависит от события .

Два события и являются зависимыми,если

или(2.5)

Если событие зависит от события , то и событие зависит от события .

Пример.Из полной колоды карт (52 листа) вынимается одна карта. Рассматриваются события

- появление туза;

- появление карты красной масти;

- появление бубнового туза;

- появление десятки.

Зависимы или независимы пары событий и , и , и ?

Решение.

Для пары и

справедливо условие (2.4). Значит и - независимые.

Для пары и

справедливо (2.5). События и зависимы.

Для пары и , без проверки условий (2.4), (2.5) можно сказать, что события зависимы, т.к. они несовместны. Для несовместных событий (по определению) появление одного исключает появление другого, т.е. обращает в нуль его вероятность.

Несколько событий называются попарно независимыми,если каждые два из них независимы.

Несколько событий называются независимыми в совокупности,если каждые 2 из них независимы и независимы каждое событие и все возможные произведения остальных.