Математическая статистика

Современная математическая статистика– это наука о принятии решений в условиях неопределённости, занимающаяся установлением закономерностей массовых случайных явлений и процессов с помощью наблюдений или испытаний. Эти закономерности не касаются отдельных исследований, а представляют собой утверждения об общих характеристиках некоторого явления.

Математическая статистика опирается на теорию вероятностей и решает две основные задачи.

Первая задача – указать способы сбора и группировки статистических сведений, полученных в результате специально поставленных экспериментов.

Вторая задача – разработать методы анализа статистических данных в зависимости от цели исследования.

Разделы математической статистики:

1. Теория выборок;

2. Теория оценок;

3. Теория проверки статистических гипотез;

4. Теория корреляции;

5. Регрессионный анализ;

6. Дисперсный анализ.

Элементы математической статистики

Теория выборок

Теория выборок определяет методы формирования выборок из генеральной совокупности экспериментальных данных.

Генеральная совокупность– совокупность объектов или экспериментальных данных, которые исследуются на некоторый качественный или количественный признак.

Пример.Партия деталей. Качественный признак – стандартность детали, количественный – размер детали.

Объём генеральной совокупности – число объектов или количество данных, составляющих генеральную совокупность.

Исследование генеральной совокупности, как правило, невозможно сделать по двум причинам:

- из-за большого числа исследуемых объектов;

- из-за необходимости разрушения объекта, например, при определении его прочностных характеристик.

Выборочная совокупность (выборка) – совокупность случайно отобранных объектов из генеральной совокупности для непосредственного исследования.

Объём выбоки – число объектов или количество данных, составляющих выборочную совокупность.

Выборки подразделяют на:

1. Повторные;

2. Бесповторные.

Повторной называется выборка, при которой отобранные изделия (перед отбором следующей) возвращаются в генеральную совокупность.

Бесповторной называется выбока, при которой отобранные изделия в генеральную совокупность не возвращаются.

На практике обычно используют бесповторную выборку. Если объём генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет незначительную её часть, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда генеральная совокупность бесконечна, а выбрка имеет конечный объём, это различие исчезает.

Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его (признак) представляли, т. е. выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Выборка является репрезентативной, если (в силу закона больших чисел) каждое изделие выборки отобрано случайно из генеральной совокупности, т. е. все объекты генеральной совокупности имеют одинаковую вероятность попасть в выборку.

Способы формирования выборки

Все способы отбора объектов из генеральной совокупности в выборку подразделяются на две группы:

1. Отбор без разделения генеральной совокупности на части, в результате которого формируется простая выборка. Простой называется выборка, для которой объекты исследования выбираются по одному непосредственно из генеральной совокупности. Простая выборка может быть повторной или бесповторной.

2. Отбор, при котором генеральная совокупность разбивается на части, что приводит к формированию сложной выборки. Сложной называется выборка, для которой генеральная совокупность сначала делится на части, из которых затем выбирваются объекты исследования. Сложные выборки делятся на:

- механические;

- типические;

- серийные;

- комбинированные.

Механической называется выборка, для которой генеральную совокупность делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект.

Пример. Для отбора 20% изготовленных станком деталей выбирают каждую пятую деталь; для отбора 5% – каждую двадцатую.

Типической выборкой называется выборка, для которой объекты выбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой её «типической» части.

Пример. Если одинаковые детали изготавливаются на нескольких станках, то отбор производится из продукции каждого станка в отдельности.

Серийной называется выборка, для которой объекты из генеральной совокупности отбирают не по одному, а «сериями» и подвергают сплошному обследованию.

Пример. Если одинаковые изделия изготавливаются большой группой станков, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков.

На практике обычно применяют комбинированные выборки, отбор в которые осуществляется сочетанием разных способов.