Статистическое распределение выбоки

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем x₁ наблюдалось n₁ раз, x₂ – n₂ раз, …, x_k – n_k раз.

Наблюдаемые значения x_i, называются вариантами, последовательность вариант, записанная в возрастающем порядке – вариационным рядом.

Числа наблюдений n_i, называются частотами, сумма частот составляет объём выбоки

, (5.1)

где n – объём выборки,

а отношение n_i к n – относительными частотами

. (5.2)

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант в возрастающем порядке и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно также записать в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал).

Статистическое распределение можно представить:

1) таблично;

2) графически;

3) аналитически.

Табличное представление статистического распределения имеет вид таблицы, первый ряд которой содержит вариационный ряд или последовательность интервалов, второй – перечень соответствующих частот или относительных частот.

Графическое представление статистического ряда распределения может иметь вид:

1. Полигона, если вариационный ряд дискретный;

2. Гистограммы, если вариационный ряд интегральный.

Полигоном частот называется ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁; n₁), (x₂; n₂), …, (x_k; n_k) в декартовой системе координат, где на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты n_i.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой соединяют точки (x₁; w₁), (x₂; w₂), …, (x_k; w_k) в декартовой системе координат, где на оси абсцисс откладывают варианты x_i, а на оси ординат – соответствующие им частоты w_i.

Гистограммой частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной

,

а высоты равны отношению , т. н. плотность частоты.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна n_i, площадь гистограммы частот – объекту выборки n.

Гистограмма относительных частот ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиной h, а высоты равны отношению , т. н. плотность относительной частоты.

Площадь i-го частичного прямоугольника равна w_i, площадь гистограммы относительных частот – единице.

Аналитическое представление статистического распределения выборки называется эмпирической функцией распределения.

Эмпирическая функция распределения – функция , определяющая для каждого значения x относительную частоту события .

, (5.3)

где n_x – число вариант, меньших x ,

n – объём выборки.

Свойства :

1. Значения принадлежат отрезку [0; 1];

2. – неубывающая функция;

3. Если x₁ – наименьшая варианта, то при . Если x_k – наибольшая варианта, то при .

График называется кумулятой.

Пример 1. Из 100 транзисторов в среднем бывает два бракованных. Проверили десять партий по 100 транзисторов в каждой. Отклонение количества бракованных транзисторов от среднего заданы таблицей

Составить закон распределения выборки и построить её эмпирическую функцию распределения.

Закон распределения заданной выборки имеет вид:

Наименьшая варианта равняется -2, следовательно,

если .

Значение , а именно

наблюдалось 1 раз, следовательно

если .

Значение , а именно , наблюдалось 1+2=3 раза, следовательно

если .

Значение , а именно , , наблюдалось 1+2+2=5 раз, следовательно

если .

Значение ,а именно , , , наблюдалось 1+2+2+4=9 раз, следовательно

если .

– наибольшая варианта, следовательно,

если .

Искомая эмпирическая функция распределения имеет вид

Пример 2.Построение гистограммы частот выборки рассмотрен в учебнике В. Е. Гмурман « Теория вероятностей и математическая статистика», стр. 196.

.