Вероятность битовой ошибки в релеевском канале

Если передается символ d единичной амплитуды, то выходной сигнал x согласованного фильтра можно записать вместо (1.3.1) в виде

, (2.4.1)

где E_s – энергия импульса, h – канальный коэффициент, z – шум приемника. При этом предполагается, что дисперсия коэффициента h равна единице (<|h|²>=1), а средняя мощность шума .

Из (2.4.1) получим, что мгновенное ОСШ равно

, (2.4.2)

где - среднее ОСШ на символ.

В многолучевом канале амплитуда |h| коэффициента передачи имеет релеевское распределение вида (2.3.43). При этом случайное ОСШ r будет иметь экспоненциальную плотность вероятности с параметром r₀, которую можно записать как

. (2.4.3)

Найдем вероятность битовой ошибки (BER), которая определяется как отношение среднего числа неправильно принятых бит к общему числу переданных бит. Так как ОСШ r является случайной величиной, необходимо используя плотность вероятности f(r) выполнить усреднение битовой ошибки, которая возникает из-за шума при ОСШ r.

Следовательно, чтобы найти битовую ошибку при передаче через релеевский канал, необходимо вычислить интеграл

, (2.4.4)

где BER(r) – вероятность битовой ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний при ОСШ равном r.

Вероятность битовой ошибки BER(r) определяется выражениями (1.3.10), (1.3.14), (1.3.18) и (1.3.19) для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов, соответственно. Рассмотрим эти модуляции раздельно.

2-ФМ сигналы. Учитывая плотность вероятности (2.4.3) для ОСШ и выражение (1.3.10) для BER(r), получим, что вероятность битовой ошибки равна

. (2.4.5)

Этот интеграл вычисляется [43]. В результате будем иметь, что

. (2.4.6)

В случае достаточно большого среднего ОСШ (r₀>>1) формулу (2.4.6) можно упростить. Для этого воспользуемся приближенным равенством , где малый параметр x=1/r₀. В результате, из (2.4.6) получим, что

. (2.4.7)

Таким образом, при больших ОСШ вероятность битовой ошибки в релеевском канале обратно пропорциональна среднему ОСШ.

В логарифмическом масштабе при больших ОСШ кривые для вероятности битовой ошибки переходят в прямые. Наклон этих прямых значительно больше для гауссовского канала, чем для релеевского. Чтобы, например, уменьшить вероятность ошибки в »10 раз в условиях релеевских замираний сигналов мощность должна быть увеличена также в »10 раз (на »10 дБ). Аналогичное увеличение мощности для гауссовского канала составляет всего 1¸2 дБ.

Для 2-ФМ сигналов энергия символа совпадает с энергией бита, поэтому выражения (2.4.6) и (2.4.7) можно переписать в виде:

, . (2.4.8)

Сравним вероятность битовой ошибки для в гауссовского шумового и релеевского каналов. Результаты сравнения показаны на рис. 2.25. Видно, что передача информации с одинаковой ошибкой через релеевский канал требует значительно большего ОСШ, чем передача через гауссовский шумовой канал. Оценим требуемое ОСШ, необходимое для обеспечения заданной величины вероятности битовой ошибки. Например, для вероятности равной 1%, необходимо увеличить мощность передатчика с 4.3 дБ до 13.8 дБ (то есть примерно в 10 раз), чтобы скомпенсировать потери, обусловленные релеевскими замираниями сигнала.

Рис. 2.25. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском (сплошная
кривая) и в гауссовском каналах (пунктирная кривые)

4-ФМ сигналы. Как показано выше, зависимость вероятность битовой ошибки от отношения E_b/N₀ в канале с аддитивным гауссовским шумом является одинаковой для 2-ФМ и 4-ФМ сигналов. Поэтому формулы (2.4.8) справедливы и для 4-ФМ сигналов.

Учитывая, что для 4-ФМ сигналов ОСШ из (2.4.8) получим, что вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ будет определяться следующими выражениями:

, . (2.4.9)

Таким образом, одинаковая вероятность битовой ошибки будет достигаться для квадратурной модуляции при ОСШ большем в 2 раза (на 3 дБ), чем для двоичной модуляции.

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ для 4-ФМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 2). Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 16.8 дБ.

Рис. 2.26. Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в релеевском канале для 2-ФМ, 4-ФМ, 16-КАМ и 64-КАМ сигналов (кривые 1,2,3,4, соответственно)

16-КАМ сигналы. Чтобы найти вероятность битовой ошибки BER необходимо подставить (1.3.18) в интеграл (2.4.4) и выполнить интегрирование. В результате получим, что

, (2.4.10)

где функция

. (2.4.11)

Учтем, что для 16-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ . Подставляя это равенство в (2.4.10) и (2.4.11), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения энергии сигнала к спектральной плотности шума .

Найдем вероятность символьной ошибки при использовании кода Грея, когда соседние символы переносят информацию, отличающуюся только одним битом. Тогда для достаточно больших ОСШ ошибка при демодулировании символа приводит к неправильной оценке только одного бита. Поэтому вероятность символьной ошибки для 16-КАМ сигналов равна , то есть символьная ошибка в 4 раза больше битовой.

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 16-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 3). Эта кривая сдвинута на 6.0 дБ по сравнению с кривой для 4-ФМ. Теперь ОСШ, необходимое для обеспечения вероятности ошибки 1%, должно составлять 22.8 дБ.

64-КАМ сигналы. Подставим (1.3.19) в (2.4.4) и выполним интегрирование. В результате получим, что вероятность битовой ошибки равна

, (2.4.12)

где функция определена в (2.4.11).

Для 64-КАМ сигналов в соответствии с (1.3.13) ОСШ . Учитывая это условие в (2.4.12), можно получить зависимость вероятности битовой ошибки от отношения .

При использовании кода Грея вероятность символьной ошибки для 64-КАМ сигналов для достаточно больших ОСШ равна .

Вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в дБ для 64-КАМ сигналов представлена на рис. 2.26 (кривая 4). Видно, что данная кривая сдвинута на 5.2 дБ по сравнению с кривой для 16-КАМ, и для обеспечения вероятности ошибки 1% ОСШ должно быть равно 28.0 дБ.

Выражения (2.4.10) и (2.4.12) являются достаточно сложными. Поэтому, приведем приближенную формулу, справедливую для сигналов достаточно высоких уровней модуляции. Вероятность символьной ошибки в канале с релеевскими замираниями сигналов при максимально правдоподобном детектировании ограничена сверху [4,10,11]:

, (2.4.13)

где обозначение уже использовалось в (1.3.20).

В области больших ОСШ

. (2.4.14)

Отсюда следует, что при r₀>>1 вероятность символьной ошибки (а, следовательно, и битовой ошибки) для рассматриваемых модуляций уменьшается обратно пропорционально ОСШ r₀, что также видно на рис. 2.26, на котором все кривые имеют одинаковый наклон в области r₀>>1.