Смешанного умножения векторов
Г10. , , компланарны. Пусть . Тогда . По определению векторного произведения и . Следовательно, векторы , , параллельны плоскости, перпендикулярной вектору (рис. 24),т.е. векторы , , компланарны. Обратно, пусть векторы , и компланарны. Тогда существует плоскость , которой они параллельны. , Þ , а так как || , то Þ , т.е. . Г20 (геометрический смысл модуля смешанного произведения). Если векторы , , некомпланарны, то абсолютная величина их смешанного произведения равна объему V параллелепипеда с ребрами , , , отложенными от одной точки; , если тройка , , - правая, , если тройка , , - левая. Пусть векторы , , отложены от точки О (рис. 25). . Пусть .
Построим на векторах , , параллелепипед. За основание этого параллелепипеда примем параллелограмм со сторонами и (рис. 26). Пусть n – луч, перпендикулярный основанию параллелепипеда и лежащий в том же полупространстве, что и вектор . Пусть h – высота параллелепипеда.
а) Если тройка , , ориентирована так же, как базис , , , то (рис. 26, а) Þ < 900 Þ cos >0 Þ Þ Þ . Итак, . б) Если тройка , , ориентирована противоположно базису , , , то (рис. 26, б) Þ > 900 Þ Þ Þ . Итак, . Из пунктов а) и б) следует, что . Алгебраические свойства Смешанного умножения векторов А10. Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанного произведения, т.е. V. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак смешанного произведения на противоположный, т.е. , V. Для доказательства достаточно применить доказательство свойства Г20 к и к . Параллелепипед будет тот же, только за основание будет принята другая грань (в первом случае – построенная на векторах и , во втором – на векторах и ). Чтобы доказать вторую часть свойства, надо воспользоваться определением смешанного произведения и свойством А10 векторного умножения, а затем совершить циклическую перестановку: . А20. V . Для доказательства этого свойства нужно доказать три равенства: ; ; . Докажите их самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов. А30. ; ; . Докажите эти равенства самостоятельно, пользуясь определением смешанного произведения и алгебраическими свойствами скалярного и векторного умножения векторов. Замечание. Смешанное произведение . , т.к. . Теорема 1(смешанное произведение в координатах). Если , , в базисе , , , то . . Применение смешанного произведения Трех векторов Смешанное произведение векторов применяется: 1. Для выяснения компланарности трех векторов: векторы , , компланарны тогда и только тогда, когда . 2. Для вычисления объема параллелепипеда: (рис. 27).
3. Для вычисления объема треугольной призмы: (рис. 28). 4. Для вычисления объема тетраэдра (треугольной пирамиды): (рис. 29).
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (508)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |