Основные аффинные задачи на прямые и плоскости
1. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Возможны четыре случая взаимного расположения двух прямых и в пространстве: 1) ; 2) ; 3) ; 4) совпадает с . Пусть прямая задана точкой и направляющим вектором , - точкой и направляющим вектором . Тогда взаимное расположение двух прямых и можно определить по векторам и . Замечание. Прямые и лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда векторы и компланарны, т.е. смешанное произведение . Учитывая сделанное замечание, выведем условия взаимного расположения двух прямых в пространстве. 1) , если не существует плоскости, содержащей одновременно обе эти прямые (рис. 75). Следовательно, . 2) Если прямые и пересекаются, т.е. , то они лежат в одной плоскости и их направляющие векторы неколлинеарны (рис. 76). Следовательно,
3) (рис. 77). 4) (рис. 78).
2. Взаимное расположение прямой и плоскости. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: 1) ( пересекает плоскость в некоторой точке); 2) ; 3) . Пусть в аффинной системе координат прямая задана точкой и направляющим вектором , а плоскость - общим уравнением . 1) (по лемме о параллельности вектора и плоскости) (рис. 79). Итак, . Чтобы найти координаты точки пересечения и , надо решить систему уравнений прямой и плоскости .
2) и (рис. 80), т.е. 3) и (рис. 81), т.е.
3. Связка прямых в пространстве. Связкой прямых в пространстве с центром в точке называется множество всех прямых, проходящих через точку . Параметрическое уравнение связки прямых с центром имеет вид: где - произвольные действительные числа, не равные нулю одновременно. 4. Связка прямых и плоскостей. Объединение связки прямых в пространстве с центром и связки плоскостей в пространстве с центром называется связкой прямых и плоскостей с центром . Каждые две (различные) плоскости связки пересекаются по прямой связки, и каждая прямая связки является осью пучка плоскостей связки. Следовательно, множество прямых, по которым пересекаются плоскости связки, есть связка прямых с центром .
Задания для самостоятельной работы 1. Запишите в координатном виде условие того, что прямые и являются скрещивающимися. 2. Запишите в координатном виде условие того, что прямые и (см. задание 1) пересекаются. 3. Запишите в координатном виде условие параллельности прямых и (см. задание 1). 4. Запишите в координатном виде условие совпадения прямых и (см. задание 1). 5. Выясните взаимное расположение прямой и оси: а) ; б) ; в) аффинной системы координат . 6. Выясните взаимное расположение прямой и координатной плоскости: а) ; б) ; в) .
Основные метрические задачи
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (572)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |