Различные уравнения прямой в пространстве
Положение прямой в пространстве определяется полностью, если даны: а) две ее точки; б) точка и направляющий вектор; в) две плоскости, пересекающиеся по этой прямой. Пусть в пространстве выбрана аффинная система координат . 1. Каноническое уравнение прямой. Пусть прямая задана в пространстве точкой и направляющим вектором (рис. 73). . Далее применяем условие коллинеарности двух векторов в пространстве в координатах (см. § 5). При этом возможны различные случаи: а) и . Тогда получаем следующее уравнение прямой: . (28) б) . (29) в) (запишите уравнение прямой самостоятельно). г) (запишите уравнение прямой самостоятельно). д) . Получаем следующее уравнение прямой : (30) е) (запишите уравнение прямой самостоятельно). ж) (запишите уравнение прямой самостоятельно). Уравнения (28)-(30) (а также уравнения, записанные вами в пунктах в), г), е) и ж)) называются каноническими уравнениями прямой в пространстве. 2. Уравнение прямой, заданной двумя точками. Пусть . Тогда прямую можно задать точкой и направляющим вектором . Поэтому применяем каноническое уравнение прямой: . (31) Уравнение (31) называется уравнением прямой в пространстве, заданной двумя точками. Если одна или две координаты вектора окажутся нулевыми, то применяем частные случаи канонического уравнения прямой, т.е. уравнения вида (29) или (30). 3. Параметрическое уравнение прямой. В случае, когда прямая задана так же, как в пункте 1 (точкой и направляющим вектором ), можно получить параметрическое уравнение прямой. (по теореме о коллинеарных векторах). Переходя к координатам, получаем:
(32) Система уравнений (32) называется параметрическим уравнением прямой в пространстве. Действительное число в системе (32) называется параметром и имеет такой же смысл, как и параметр в параметрическом уравнении прямой на плоскости (см. § 15). 4. Уравнение прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями. Пусть в (рис. 74). Точка тогда и только тогда, когда ее координаты являются решением системы уравнений плоскостей и . Система уравнений (33) называется уравнением прямой, заданной двумя пересекающимися плоскостями. Лемма 1. Вектор (34) является направляющим вектором прямой . □ Воспользуемся дважды леммой о параллельности вектора и плоскости. 1) Докажем, что . . Тогда по лемме о параллельности вектора и плоскости . 2) Докажите самостоятельно, что . Из пунктов 1) и 2) следует, что , т.е. . ■ Итак, из леммы 1 следует, что если прямая задана как линия пересечения двух плоскостей , , то координаты ее направляющего вектора находятся по формуле (34). Замечание. Как и в случае прямой на плоскости, переменные в уравнениях (28)-(33) называются текущими координатами точек прямой в пространстве.
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (762)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |