Применение алгебры матриц для расчета режимов

Двухмерной матрицей называется упорядоченный набор чисел, расположенных в виде таблицы. В дальнейшем будем обозначать матрицы большими буквами, выделенными жирным шрифтом (без курсива), например A.

Если число строк в матрице равно числу столбцов, то матрица называется квадратной.

Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей-столбцом, вектор-столбцом или просто вектором. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой.

Элементы матриц обозначаются с использованием двух индексов, например, a_i,j, где i – номер строки, j – номер столбца. Элементы, для которых i = j, составляют главную диагональ матрицы.

Если для всех элементов квадратной матрицы выполняется равенство
a_i,j = = a_j,i, то такая матрица называется симметричной.

Матрица, все элементы которой, за исключением главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей.

Матрица, все ненулевые элементы которой сосредоточены вблизи главной диагонали (включая саму диагональ), называется матрицей ленточного типа.

Диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1, называется единичной матрицей. Единичная матрица имеет стандартное обозначение E.

Суммой матриц A и B с элементами a_i,j и b_i,j называется матрица C, каждый элемент которой c_i,j = a_i,j + b_i,j. Очевидно, что складываемые матрицы должны иметь одинаковые размерности (количества строк и столбцов).

Произведением матрицы A с элементами a_i,j на число x называется матрица B, каждый элемент которой b_i,j = xa_i,j.

Произведением матриц A и B с элементами a_i,j и b_i,j называется матрица C, каждый элемент которой , где n – число столбцов матрицы A, которое должно быть равно числу строк матрицы B. В общем случае AB ≠ BA, однако AE = EA = A, гдеE – единичная матрица.

Транспонированием матрицы A с элементами a_i,j называется замена ее строк столбцами. В результате получается транспонированная матрица A^Т, каждый элемент которой a^Т_i,j = a_j,i.

Обратной по отношению к матрице A называется матрица A^-1, для которой выполняется условие A A^-1 = A^-1A = E.

Алгебра матриц является наиболее общим и эффективным средством записи и преобразования систем алгебраических уравнений. Матричная форма записи системы уравнений баланса токов (2.1) имеет вид

, (2.13)

где Y– матрица собственных и взаимных проводимостей узлов с неизвестными напряжениями (матрица узловых проводимостей); – вектор-столбец неизвестных напряжений; – вектор-столбец задающих (узловых) токов.

Матрица узловых проводимостей имеет следующую структуру:

,

где n – число узлов с неизвестными напряжениями.

Матрица Y является квадратной и симметричной. При большом числе узлов она становится разреженной, то есть содержит много нулевых элементов. Данное свойство часто используется при расчете сложных электрических систем. Однако элементы главной диагонали всегда отличны от нуля.

Вектор-столбцы и имеют вид

, .

Умножим обе части уравнения (2.13) слева на матрицу Z= Y^-1:

. (2.14)

Матрица Z, обратная матрице узловых проводимостей, называется матрицей собственных и взаимных сопротивлений или матрицей узловых сопротивлений. Поскольку ZY = E, то (2.14) принимает вид

. (2.15)

Если уравнения режима линейны, то выражение (2.15) является их решением. Если уравнения нелинейны, то (2.15) позволяет найти напряжения в узлах сети методом последовательных приближений. При этом на каждом шаге расчета уточняются значения узловых токов.

Метод расчета режима, основанный на использовании выражения (2.15), называется методом обратной матрицы. Он обладает быстрой сходимостью (то есть позволяет найти решение при сравнительно небольшом числе итераций). Однако нахождение обратной матрицы связано с громоздкими вычислениями. Кроме того, матрица Z не содержит нулевых элементов, что не дает возможности упростить расчеты сложных систем с учетом их топологии. Поэтому метод обратной матрицы имеет ограниченное применение, главным образом в сетях с небольшим числом узлов. Он эффективен в тех случаях, когда для одной и той же сети производятся многократные расчеты режимов, поскольку обратная матрица при этом вычисляется только один раз.

При расчете режима методом обратной матрицы выражение (2.15) обычно записывается не в комплексной форме, а в действительной форме в декартовой системе координат. Сопротивления, напряжения и токи представляются следующим образом:

, (2.16)

, (2.17)

. (2.18)

В соответствии с (2.15) можно записать

.

Последнему выражению эквивалентно матричное уравнение

. (2.19)

Уравнение (2.19) представляет собой действительную форму (2.15). Здесь матрицы записаны в так называемой блочной форме, то есть составлены из нескольких матриц. U′и U″ – векторы действительных и мнимых составляющих напряжений; I′и I″ – векторы действительных и мнимых составляющих узловых токов; Rи X – квадратные матрицы действительных и мнимых составляющих узловых сопротивлений.