Расчет несинусоидальных режимов

В электрических системах всегда имеются нелинейные элементы, которые при приложении к ним синусоидального напряжения потребляют нелинейный ток. Однако режим считается несинусоидальным только в том случае, если искажения кривых токов и напряжений значительны (на уровне или выше допустимых пределов ГОСТ). Причиной возникновения таких режимов является наличие нелинейных электроприемников (с тиристорными преобразователями, дуговых печей и т.д.).

Анализ и расчет несинусоидальных режимов основан на разложении кривых токов и напряжений в ряды Фурье:

 

,

, (2.76)

 

где U₀, I₀ – постоянные составляющие напряжения и тока (в электрических сетях обычно отсутствуют); ν – номер гармоники; U_ν,max, I_ν,max – амплитудные значения напряжения и тока ν-й гармоники; φ_ν и ψ_ν – начальные фазы напряжения и тока ν-й гармоники; ω ≈ 314 рад/с – круговая частота основной гармоники; n – наибольший номер учитываемой гармоники (теоретически равен бесконечности, на практике обычно не превышает 40).

 

Расчет несинусоидальных режимов электрических сетей обычно производится по методу наложения, согласно которому расчеты гармоник с разными номерами осуществляются независимо друг от друга.

Режим, соответствующий основной гармонике, рассчитывается так же, как обычный нормальный режим.

Расчеты режимов, соответствующих высшим гармоникам, имеют следующие особенности:

1. Нелинейные электроприемники, являющиеся источниками высших гармоник, моделируются как источники тока соответствующей частоты (обычно с внутренними сопротивлениями);

2. Остальные электроприемники задаются постоянными сопротивлениями;

3. ЭДС источников питания равны нулю;

4. Параметры схемы замещения (сопротивления и проводимости) зависят от частоты и поэтому для разных гармоник имеют разные значения.

Активные сопротивления токам ν-й гармоники определяются по выражению

, (2.77)

где R₌ – сопротивление постоянному току; k_ν – коэффициент, учитывающий поверхностный эффект и эффект близости.

Значение k_ν увеличивается при возрастании номера гармоники и зависит от типа элемента сети, материала и сечения провода. В общем случае k_ν ≥ 1.

Индуктивные сопротивления продольных ветвей статических элементов (без вращающихся частей) равны

 

(2.78)

 

где X₁ – индуктивное сопротивление элемента на основной частоте (прямой последовательности); X₀ – индуктивное сопротивление нулевой последовательности на основной частоте.

Индуктивные сопротивления продольных ветвей элементов с вращающимися частями:

(2.79)

где X₁, X₂, X₀ – индуктивные сопротивления соответственно прямой, обратной и нулевой последовательности на основной частоте.

Емкостные проводимости линий:

(2.80)

где B₁, B₀ – емкостные проводимости соответственно прямой и нулевой последовательности на основной частоте.

Ветви намагничивания трансформаторов при расчете высших гармоник обычно не учитываются, поскольку напряжения гармоник малы, а индуктивные сопротивления ветвей намагничивания, наоборот, велики. При необходимости эти сопротивления можно определить по формулам (2.78). Активные сопротивления ветвей намагничивания рассчитываются более сложным образом.

После расчета режимов, соответствующих каждой гармонике, определяются результирующие параметры несинусоидального режима:

– действующие значения напряжений и токов;

– потери активной мощности;

– коэффициенты, характеризующие искажение кривой напряжения;

– другие параметры, например, передаваемые мощности.

Действующие значения напряжений и токов рассчитываются по формулам

, , (2.81)

где U_ν, I_ν – действующие значения напряжения и тока ν-й гармоники.

Потери активной мощности в каком-либо элементе равны

. (2.82)

Согласно ГОСТ, искажение кривой напряжения характеризуется коэффициентом искажения синусоидальности кривой напряжения k_нс, а также коэффициентами ν-й гармонической составляющей k_ν:

 

, (2.83)

. (2.84)

Передаваемая активная мощность равна сумме активных мощностей отдельных гармоник. В симметричном режиме

 

, (2.85)

 

где U_ν,ф – фазное напряжение ν-й гармоники.

Несинусоидальные режимы характеризуются еще несколькими мощностями, которые можно определить по соответствующим формулам.

ОПТИМИЗАЦИЯ РЕЖИМОВ

Общие положения

Электрические системы являются управляемыми. Управляющие воздействия позволяют при одной и той же совокупности электрических нагрузок реализовывать различные режимы системы. В связи с этим возникает задача выбора оптимального режима.

Оптимизацией называется поиск экстремального значения некоторой функции. Эта функция называется целевой. Параметр, который она определяет, является критерием оптимизации. Переменные, от которых зависит целевая функция, называются оптимизируемыми переменными. На них могут накладываться технические ограничения в виде равенств и неравенств.

Под оптимальным режимом электрической системы обычно подразумевается режим, наиболее экономичный из всех возможных. Таким образом, критерием оптимизации в общем случае является один из критериев экономической эффективности, например, приведенные затраты.

Реализация оптимального режима осуществляется с помощью средств управления и не связана с установкой нового оборудования. Поэтому капиталовложения отсутствуют, и вместо приведенных затрат в качестве критерия оптимизации используются эксплуатационные издержки. Эти издержки включают в себя:

– стоимость энергоносителей (топлива) C_ЭН;

– ущерб от перерывов электроснабжения У;

– затраты на ремонт и обслуживание оборудования И_р;

– выплаты по различным процентам.

Последние две составляющие при оптимизации режима остаются неизменными, и поэтому их можно исключить из рассмотрения. Тогда целевая функция (критерий оптимизации) примет вид

. (3.1)

 

Ущерб от перерывов электроснабжения (фактор надежности) учитывается, только если оптимизация связана с изменением конфигурации сети или состава работающего оборудования. Однако даже и в этих задачах фактор надежности чаще всего не входит в состав критерия оптимизации, а учитывается только в технических ограничениях. Поэтому, если при оптимизации состав работающего оборудования и конфигурация сети не изменяются, или если надежность учитывается только в технических ограничениях, то критерием оптимизации является стоимость энергоносителей:

. (3.2)

В ряде случаев вместо стоимости энергоносителей более целесообразно использовать расход условного топлива B:

. (3.3)

 

Критерии (3.2) и (3.3) применяются при оптимизации режимов электроэнергетических систем, включая электростанции. Если оптимизируется режим только электрической сети, а режимы электростанций остаются неизменными, то расход энергии изменяется только за счет потерь электроэнергии в сети ΔW (при заданном потреблении энергии нагрузкой). Поэтому критерием оптимизации режимов электрических сетей являются потери активной мощности или энергии:

, (3.4)

. (3.5)

Критерий (3.4) используется при оптимизации текущего режима, то есть на короткий интервал времени (до одного часа), в течение которого параметры режима можно считать неизменными. При оптимизации режима электрической сети на более длительные интервалы времени необходимо использовать критерий (3.5).

Во всех рассмотренных случаях оптимальному режиму соответствует минимум целевой функции.

Оптимизируемыми переменными являются регулируемые параметры элементов электроэнергетической системы. К этим параметрам относятся:

– активные мощности генераторов;

– реактивные мощности генераторов и компенсирующих устройств (БСК, синхронных компенсаторов и т.д.);

– напряжения генераторов;

– коэффициенты трансформации силовых трансформаторов и линейных регуляторов (вольтодобавочных трансформаторов);

– конфигурация сети;

– состав работающего оборудования.

Кроме этого, в специальных случаях возможны дополнительные оптимизируемые переменные: параметры управляемых линий электропередачи, преобразовательных подстанций и т.д. Также в оптимизации могут участвовать электроприемники, если возможно изменение их режима без нарушения технологического процесса.

Конкретный набор переменных зависит от решаемой задачи. Часть переменных являются непрерывными величинами, а часть – дискретными. Наличие последних значительно осложняет решение задачи оптимизации режима.

На оптимизируемые переменные накладываются технические ограничения как в форме равенств, так и в форме неравенств.

Основным ограничением-равенством является система уравнений режима, которая (обычно в неявной форме) задает взаимосвязь между оптимизируемыми переменными, другими параметрами режима и составляющими целевой функции.

Ограничения-неравенства накладываются как на сами оптимизируемые переменные, так и на величины, функционально зависящие от этих переменных:

1. На активные мощности генераторов

. (3.6)

2. На реактивные мощности генераторов и компенсирующих устройств

. (3.7)

3. На величины напряжений в узлах сети, в том числе на выводах генераторов и электроприемников

. (3.8)

4. На мощности, передаваемые через трансформаторы, по допустимым нагрузкам трансформаторов S_доп, определяемым с учетом перегрузочной способности,

. (3.9)

5. На допустимые токовые нагрузки линий и других элементов сети

. (3.10)

6. На значения номеров регулировочных ответвлений силовых трансформаторов и линейных регуляторов (вольтодобавочных трансформаторов)

. (3.11)

Если при оптимизации предполагается изменение конфигурации сети или состава работающего оборудования, то вводится также техническое ограничение по надежности электроснабжения исходя из категорийности электроприемников. Это ограничение запрещает конфигурации сети и составы работающего оборудования, не удовлетворяющие требованию надежности.

 

Методы оптимизации

При оптимизации режимов электроэнергетических систем наибольшее распространение получили метод множителей Лагранжа и градиентные методы. Также используется метод динамического программирования и некоторые другие. В настоящее время разрабатываются альтернативные алгоритмы оптимизации режимов, в частности, с использованием методов нечеткой логики и эволюционных алгоритмов.

Метод множителей Лагранжа. Пусть имеется целевая функция F(x₁, x₂, …, x_n). На переменные x₁, …, x_n этой функции наложено m ограничений-равенств
g_i(x₁, x₂, …, x_n) (в каждое конкретное ограничение могут входить не все переменные, а только их часть). Тогда задача оптимизации формулируется следующим образом:

 

(3.12)

(3.13)

Если m = n, то равенства (3.13) определяют однозначный набор значений x₁, …, x_n, и оптимизация невозможна. Поэтому, чтобы режим был оптимизируемым, должно выполняться условие m < n. Разность (n – m) называется числом степеней свободы системы и представляет собой количество переменных, которые в процессе оптимизации могут варьироваться независимо друг от друга.

Метод множителей Лагранжа состоит в переходе от условной оптимизации (3.12), (3.13) к безусловной. Этот переход осуществляется путем замены целевой функции (3.12) на функцию Лагранжа, которая имеет вид

 

(3.14)

 

где λ_i – вспомогательные переменные, которые называются множителями Лагранжа.

Экстремум функции Лагранжа определяется классическим способом, т.е. из условия равенства нулю частных производных по всем переменным x_i, λ_j.
В результате получается следующая система уравнений:

 

(3.15)

 

Если все g_i = 0, то экстремум функции Лагранжа совпадает с экстремумом исходной целевой функции. Из (3.15) видно, что данное условие выполняется. Таким образом, значения x₁, …, x_n, полученные путем решения системы (3.15), являются решением задачи оптимизации.

Метод множителей Лагранжа является единственным методом оптимизации, который позволяет найти общее решение задачи (если система (3.15) решается аналитически). Однако на практике составление и решение этой системы часто бывает связано с громоздкими вычислениями. Кроме того, метод Лагранжа не позволяет непосредственно учесть ограничения-неравенства.

Градиентные методы представляют собой численные методы оптимизации, реализующие переход от предыдущего приближения переменных x₁, …, x_n к следующему на основе вычисления производных целевой функции F. В простейшем случае рекуррентное соотношение метода имеет вид

 

, (3.16)

 

где p – номер приближения; t – шаг метода; производные вычисляются при p-м приближении переменных.

Совокупность производных , взятых с обратным знаком, определяет направление убывания целевой функции, т.е. ее градиент. Поэтому выражение (3.16) при правильном выборе шага будет последовательно приближать переменные к искомой точке минимума.

Расчет заканчивается при выполнении условия

 

, (3.17)

где ε – заданная точность.

 

Вместо условия (3.17) могут также использоваться другие способы контроля сходимости итерационного процесса.

Сходимость градиентных методов оптимизации в значительной мере
определяется величиной шага t. Существует оптимальный шаг, обеспечивающий наиболее быструю сходимость; с другой стороны, неверный выбор шага может привести, наоборот, к расходимости метода. Определение величины t представляет собой довольно сложную задачу и является частью алгоритма оптимизации.

Главное преимущество градиентных методов перед методом Лагранжа заключается в том, что градиентные методы позволяют учесть ограничения-неравенства. При оптимизации режимов электрических систем этот учет осуществляется на основе метода штрафных функций (см. п. 3.4).

Описание других методов оптимизации можно найти в специальной литературе.

3.3. Оптимизация распределения активных мощностей
между электростанциями

Пусть система содержит m тепловых электростанций и один базисный узел. Для каждой тепловой электростанции имеется своя зависимость расхода условного топлива от вырабатываемой активной мощности B_i = f(P_ген,i), которая называется расходной характеристикой. Если бы расходные характеристики были линейными и одинаковыми для всех станций, то суммарный расход условного топлива не зависел бы от распределения активных мощностей между электростанциями. В действительности эти характеристики нелинейны и различны. Поэтому изменение распределения генерируемых активных мощностей приводит к изменению расхода условного топлива. Таким образом, существует оптимальное распределение активных мощностей, соответствующее минимуму расхода условного топлива или минимуму затрат на топливо.

Выберем в качестве критерия оптимизации расход условного топлива. Соответствующая целевая функция (3.3) преобразуется к виду

 

, (3.18)

 

где под (m + 1)-й станцией понимается базисный узел, расходная характеристика которого также считается известной.

Выше указывалось, что ограничениями-равенствами являются уравнения режима системы. В рассматриваемой задаче уравнение записывается упрощенно в форме баланса активных мощностей:

 

, (3.19)

 

где P_i – мощность i-й нагрузки; k – число нагрузок; ΔP_Σ – суммарные потери мощности в сети.

Предположим, что при любом распределении мощностей режим является допустимым. Тогда ограничения-неравенства отсутствуют. В этом случае оптимизация производится методом множителей Лагранжа.

Функция Лагранжа

(3.20)

Мощности нагрузок считаются постоянными величинами, а потери – функцией генерируемых мощностей, за исключением мощности базисного узла. Тогда система (3.15) принимает вид

(3.21)

Обозначим

, . (3.22)

Величина ε_i называется относительным приростом расхода топлива на i-й электростанции и является нелинейной функцией генерируемой мощности. Зависимости ε_i(P_ген,i) при оптимизации режима задаются в аналитической форме.

Величина σ_i называется относительным приростом потерь при изменении мощности i-й станции. Зависимости σ_i(P_ген,i) при оптимизации задаются линейными функциями, поскольку сами потери имеют квадратичную зависимость от мощностей.

С учетом этих обозначений систему (3.21) можно записать следующим образом:

(3.23)

Система (3.23) включает в себя (m+2) уравнения с неизвестными P_ген,1, …, P_ген,m+1, λ. Решение ее производится численными методами (поскольку уравнения нелинейны). В результате определяется оптимальные значения генерируемых мощностей P_ген,1, …, P_ген,m+1.

В более общем случае кроме ограничения-равенства имеются также ограничения-неравенства. При этих условиях оптимизация обычно производится градиентными методами с использованием метода штрафных функций.