Понятие функции нескольких переменных
Область определения Переменная z называется функцией двух переменных x и y, если каждой паре (x; y) значений двух независимых друг от друга переменных величин x и y из некоторой области D соответствует определенное значение z: z = f(x; y). Значение функции z = f(x; y) в точке M(x0; y0) обозначается z0 = f(x0; y0) и называется частным значением функции. Переменная величина и называется функцией трех переменных x, y, z, если каждому набору этих переменных соответствует единственное значение переменной u: u = f(x; y; z). Будем пользоваться заданием функции, как правило, аналитическим способом: когда функция задается с помощью формулы. Множество всех точек, в которых определена функция n переменных, называется областью определения функции. Область определения находится из формулы функциональной зависимости путем соблюдения корректности выполнения соответ- В случае двух переменных область определения функции z = f(x; y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Oxy, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности. Пример 1. Найти f(1; 2) для функции Решение Чтобы найти f(1; 2), надо в выражении для f(x; y) подставить x = 1, y = 2 и выполнить указанные в f действия. Имеем:
Пример 2. Найти область определения функции и изобразить графически. Решение Эта функция двух переменных определена, когда выражение под знаком квадратного корня неотрицательно, т. е. 4 – х2 – y2 ³ 0 или
Рисунок 40 Пример 3. Найти область определения функции и изобразить графически. Решение Данная функция определена на интервале [–1; 1], т. е. или Неравенства y2 ³ x и y2 ³ –x задают часть плоскости, расположенную вне обеих парабол одновременно. Отметим, что точка (0; 0) не входит в искомую область определения. Найденное множество точек, являющееся областью определения заданной функции, штриховкой показано на рисунке 41.
Рисунок 41 Пример 4. Найти область определения функции и изобразить графически. Решение Область определения функции находится как решение неравенства или Это неравенство описывает внутреннюю часть эллипса (рисунок 42).
Рисунок 42
Тест 1.Значение функции f(x) в точке (2; 1) равно: 1) 7; 2) –5; 3) –1; 4) 1; 5) –2.
Тест 2.Область определения функции является: 1)
2)
3) 4) 5)
Тест 3.Указать функцию двух переменных: 1) 2) 3) 4) 5)
Предел функции
Число называется пределом функции z = f(x; y) в точке M0(x0; y0), если для любого числа e > 0 найдется число d > 0, зависящее от e, такое, что для всех точек M(x; y), отстоящих от M0 не более чем на d, выполняется неравенство Записывают: На функции нескольких переменных легко переносятся все положения теории пределов функции одной переменной, в частности, справедлива теорема, представленная ниже. Теорема 1) 2) 3) , если
Пример 5. Найти предел Решение
Пример 6.Найти предел Решение Имеем неопределенность вида Раскроем эту неопределенность. Избавимся от иррациональности в числителе
Пример 7.Вычислить Решение Имеем неопределенность вида Находим
так как
Пример 8. Вычислить Решение Имеем неопределенность вида Выражение, стоящее под знаком предела, преобразуем к такому виду, чтобы можно было воспользоваться вторым замечательным пределом
Пример 9.Вычислить Решение Данная функция определена всюду на координатной плоскости Oxy, кроме точки O(0; 0). Рассмотрим предел этой функции при стремлении точки M(x; y) к началу координат по любой прямой, проходящей через точку O, т. е. вдоль линии (k ¹ 0)
Получили, что значение предела зависит от углового коэффициента прямой. Итак, соответствующим разным значениям k получаем разные предельные значения. Отсюда следует, что предел данной функции в точке O(0; 0) не существует.
Тест 4.Вычислить предел (4ху – 1): 1) –3; 2) 0; 3) –8; 4) –9; 5) –10.
Тест 5.Вычислить 1) ; 2) 0; 3) 2; 4) 5; 5) .
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (762)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |