Производная обратной функции

Пусть y = f(x) – непрерывная и возрастающая на [a; b]. Значит, на этом промежутке она имеет обратную функцию

Теорема. Если функция y = f(x) определена, непрерывна и монотонна на [a; b] и в точке [a; b] имеет производную то обратная функция x = j(y) имеет производную в точке y₀ = f(x₀) которую можно найти по формуле т. е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

Пример 6. Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную для функции .

Решение

Находим обратную функцию. Так как то y³ = x – 1. Значит, . Обратная функция имеет производную Следовательно,

Логарифмическое дифференцирование

В ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать. Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

Пример 7. Найти производную функции

Решение

Логарифмируя данное равенство по основанию e, получаем Дифференцируя полученное равенство, находим

, откуда

Подставляем и получаем

Дифференцирование неявных функций

Если функция задана уравнением y = f(x), разрешенным относительно y, то функция задана в явном виде.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения F(x; y) = 0, неразрешенного относительно y. Например,
y + 2x + cos y – 1 = 0 или

Для нахождения производной неявной функции необходимо продифференцировать это уравнение по x, рассматривая при этом y как функцию x, и затем полученное уравнение разрешить относительно

Пример 8. Найти производную функции y, заданную уравнением

Решение

Функция у задана неявно. Дифференцируем по x равенство x³ + y³ –
– 3xy = 0

Из последнего соотношения следует, что .

Производная высших порядков

Производная функции y = f(x) есть также функция x и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается или

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается или

Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n –1) порядка:

Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

Пример 9.Найти вторую производную функции

Решение

Находим первую производную функции

Дифференцируем еще раз

Тест 5.Производная третьего порядка функции равна:

1) 16x;

2) (16х)³;

3)

4)

5) 0.