Производная по направлению. Градиент
Частные производные и представляют собой производные от функции z = f(x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Oy (рисунок 43).
Рисунок 43
Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М(х; у), – некоторое направление, задаваемое единичным вектором где ибо (или ); cos a, cos b – косинусы углов, образуемых вектором е с осями координат и называемые направляющими косинусами. При перемещении в данном направлении точки M(x; y) в точку M1(x + Dx; y + Dy) функция z получит приращение D z = f(x + Dx; y + Если то, очевидно, что следовательно, Производной по направлению функции двух переменных Производная характеризуетскорость изменения функции в направлении Формула для производной функции z = f(x; y) по направлению имеет вид
Пример 16.Дана функция z = x2 + y2, в точке M(1; 1) направление составляет с осью Ox угол Найти производную функции по указанному направлению в этой точке. Решение Так как то угол По формуле производной функции по направлению получим В точке M(1; 1) получаем: Градиентом grad z функции z = f(x; y) называется вектор с координатами Рассмотрим скалярное произведение векторов и единичного вектора Получим Итак, производная по направлению есть скалярное произведение градиента grad z и единичного вектора, задающего направление Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.
Пример 17.Найти градиент функции в точке M(0; 1). Решение По формуле градиента При х = 0 и у = 1 получаем
Тест 12.Градиент функции в точке А(1; 1) равен: 1) 2) 3) 4) 5)
Дифференцирование сложных и неявных функций
Случай одной независимой переменной
Предположим, что z = f(x; y) – дифференцируемая функция двух переменных x и y в некоторой области D, а аргументы x и y являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t, т. е. x = x(t), Тогда – функция одной переменной t.
Теорема.Имеет место равенство
Если совпадает с одним из аргументов, скажем, t = x, то
и называется полной производной функции z по x.
Случай нескольких независимых переменных
Если аргументы x и y функции z = f(x; y) являются функциями двух переменных, скажем, x = x(u; v), y = y(u; v), то также является функцией двух переменных и v.
Теорема.Имеют место формулы и Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2323)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |