Производная по направлению. Градиент

Частные производные и представляют собой производные от функции z = f(x; y) по двум частным направлениям осей Ox и Oy (рисунок 43).

Рисунок 43

Пусть функция z = f(x; y) определена в некоторой окрестности точки М(х; у), – некоторое направление, задаваемое единичным вектором где ибо (или ); cos a, cos b – косинусы углов, образуемых вектором е с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении точки M(x; y) в точку M₁(x + Dx; y + Dy) функция z получит приращение D z = f(x + Dx; y +
+ Dy) – f(x; y), называемое приращением функции в данном направлении

Если то, очевидно, что следовательно,

Производной по направлению функции двух переменных
z = f(x; y) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения при стремлении последней к нулю, т. е.

Производная характеризуетскорость изменения функции в направлении

Формула для производной функции z = f(x; y) по направлению имеет вид

Пример 16.Дана функция z = x² + y², в точке M(1; 1) направление составляет с осью Ox угол Найти производную функции по указанному направлению в этой точке.

Решение

Так как то угол По формуле производной функции по направлению получим

В точке M(1; 1) получаем:

Градиентом grad z функции z = f(x; y) называется вектор с координатами

Рассмотрим скалярное произведение векторов и единичного вектора

Получим

Итак, производная по направлению есть скалярное произведение градиента grad z и единичного вектора, задающего направление

Градиент функции grad z в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Пример 17.Найти градиент функции в точке M(0; 1).

Решение

По формуле градиента

При х = 0 и у = 1 получаем

Тест 12.Градиент функции в точке А(1; 1) равен:

1)

2)

3)

4)

5)

Дифференцирование сложных и неявных функций

Случай одной независимой переменной

Предположим, что z = f(x; y) – дифференцируемая функция двух переменных x и y в некоторой области D, а аргументы x и y являются дифференцируемыми функциями некоторой переменной t, т. е. x = x(t), Тогда – функция одной переменной t.

Теорема.Имеет место равенство

Если совпадает с одним из аргументов, скажем, t = x, то

и называется полной производной функции z по x.

Случай нескольких независимых переменных

Если аргументы x и y функции z = f(x; y) являются функциями двух переменных, скажем, x = x(u; v), y = y(u; v), то также является функцией двух переменных и v.

Теорема.Имеют место формулы

и

Структура этих формул сохраняется и при большем числе переменных.