Проверка статистической гипотезы о математическом ожидании нормального распределения при известной дисперсии

Пусть имеется нормально распределенная случайная величина x,, определенная на множестве объектов некоторой генеральной совокупности. Известно, что Dx = s ². Математическое ожидание Mx неизвестно. Допустим, что имеются основания предполагать, что Mx = a, где a – некоторое число (такими основаниями могут быть ограниченные сведения об объектах генеральной совокупности, опыт исследования подобных совокупностей и т. д.). Будем считать также, что имеется другая информация, указывающая на то, что Mx = a₁, где a₁ > a.

I. Выдвигаем нулевую гипотезу H₀: Mx = a;

при конкурирующей гипотезе H₁: Mx = a₁.

Делаем выборку объема n: x₁, x₂,..., x_n . В основе проверки лежит тот факт, что случайная величина (выборочная средняя) распределена по нормальному закону с дисперсией s ²/n и математическим ожиданием, равным a в случае справедливости H₀, и равным a₁ в случае справедливости H₁.

Очевидно, что если величина оказывается достаточно малой, то это дает основание предпочесть гипотезу H₀ гипотезе H₁. При достаточно большом значении более вероятна справедливость гипотезы H₁. Задачу можно было бы поставить так: требуется найти некоторое критическое число, которое разбивало бы все возможные значения выборочной средней ( в условиях данной задачи это все действительные числа ) на два полубесконечных промежутка. При попадании в левый промежуток следовало бы принимать гипотезу H₀, а при попадании в правый промежуток предпочтение следовало бы оказать гипотезе H₁. Однако на самом деле поступают несколько иначе.

В качестве статистического критерия выбирается случайная величина

,

распределенная по нормальному закону, причем Mz = 0 и Dz = 1 ( это следует из свойств математического ожидания и дисперсии ) в случае справедливости гипотезы H₀. Если справедлива гипотеза H₁, то
Mz = a* = ( a₁ – a ) /s, Dz = 1.

На рисунке 1. изображены графики p₀(z) и p₁(z) – функций плотности рас­пре­деления случайной величины z при спра­ведливости гипотез H₀ и H₁, соответственно.

Если величина , полученная из вы­борочных данных, относительно велика, то и величина z велика, что является свидетельством в пользу гипотезы H₁. Относительно малые значения приводят к малым значениям z, что свидетельствует в пользу гипотезы H₀. Отсюда следует, что должна быть выбрана правосторонняя критическая область. По принятому уровню значимости a (например a = 0,05), используя то, что случайная величина z распределена по нормальному закону, определим значение K_кр из формулы

a = P(K_кр < z <¥) = F(¥) – F(K_кр) = 0,5 – F(K_кр).

Отсюда , и осталось воспользоваться таблицей функции Лапласа для нахождения числа K_кр.

Если величина z, полученная при выборочном значении , попадает в область принятия гипотезы (z < K_кр), то гипотеза H₀ принимается (делается вывод, что выборочные данные не противоречат гипотезе H₀). Если величина z попадает в критическую область, то гипотеза H₀ отвергается.

В данной задаче может быть подсчитана мощность критерия:

Мощность критерия тем больше, чем больше разность a₁– a.

II. Если в предыдущей задаче поставить другое условие:

H₀: Mx = a;

H₁: Mx = a₁ , a₁ < a,

то, сохранив смысл всех рассуждений, здесь придется рассматривать левостороннюю критическую область, как изображено на рисунке 2. Здесь, как и в предыдущем случае,

a* = ( a₁ – a ) /s, а величина K_кр определяется из формулы

a = P(–¥ < z < K_кр) = F( K_кр) –F(–¥) = F( K_кр) + .

Используя формулу –F( K_кр) = F( –K_кр), получаем:

F( –K_кр) = .

Отметим, что по смыслу задачи здесь K_кр – отрицательное число.

Значения z, вычисленные по выборочным данным, превышающие K_кр, согласуются с гипотезой H₀. Если величина z попадает в критическую область (z < K_кр), то гипотезу H₀ следует отвергнуть, считая предпочтительной гипотезу H₁.

III. Рассмотрим теперь такую задачу:

H₀: Mx = a;

H₁: Mx ¹ a.

В данном случае большие отклонения величины z от нуля в положительную или отрицательную сторону должны приводить к заключению о ложности гипотезы H₀, то есть здесь следует рассматривать двустороннюю критическую область, как изображено на рисунке 3.

Критическое значение K_кр определяется с помощью соотношения

P(–K_кр < z < K_кр) = 1 – a = F( K_кр) –F( – K_кр) = 2F( K_кр) .

Из этого соотношения следует:

F( K_кр) =