Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка выше 1-го с постоянными коэффициентами.

, где -действительные постоянные.(1)

Уравнение (2),полученное заменой производных искомой функцией степенями , называется характеристическим уравнением

уравнения (2).Каждому действительному корню уравнения (2) кратностиr соответствуют r линейно независимых решений уравнения(1): , а каждой паре комплексных корней , кратности s соответствуют s пар линейно независимых решений :

Если характеристическое уравнение имеет k действительных корней кратностей и l пар комплексно сопряжённых корней кратностей , то общее решение уравнения (1) запишется в виде

где -произвольный многочлен степени , а и -произвольные многочлены степени

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = =

exp(lx)⁽ⁿ⁾ + a₁exp(lx)^(n-1) + ... + a_n-1exp(lx)' + a_nexp(lx)=
= (lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n)exp(lx) = 0,
т.е. число l является корнем характеристического уравнения
lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n = 0.
Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:
P(l) = lⁿ + a₁l^n-1 + ... + a_n-1l + a_n.
Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней
l₁№ l₂ № ... № l_n,
то фундаментальная система решений состоит из функций
y₁(x) = exp(l₁x), y₂(x) = exp(l₂x), ..., y_n(x) = exp(l_nx),
и общее решение однородного уравнения имеет вид:
y(x)= c₁ exp(l₁x) + c₂ exp(l₂x) + ... + c_n exp(l_nx).

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если
l_k=l_k+1 = ... = l_k+r-1,
то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций:
y_k(x) = exp(l_kx),
y_k+1(x) = xexp(l_kx),
y_k+2(x) = x²exp(l_kx), ...,
y_k+r-1(x) =x^r-1 exp(l_nx).

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней
l_k,k+1=a_k ± ib_k
в фундаментальной системе решений отвечает пара функций
y_k(x) = exp(a_kx)cos(b_kx), y_k+1(x) = exp(a_kx)sin(b_kx).

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре
l_k=l_k+1 = ... = l_2k+2r-1=a_k ± ib_k,
в фундаментальной системе решений отвечают функции
exp(a_kx)cos(b_kx), exp(a_kx)sin(b_kx),
xexp(a_kx)cos(b_kx), xexp(a_kx)sin(b_kx),
x²exp(a_kx)cos(b_kx), x²exp(a_kx)sin(b_kx),
................
x^r-1exp(a_kx)cos(b_kx), x^r-1exp(a_kx)sin(b_kx).

Таким образом, для отыскания общего решения линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами следует:
записать характеристическое уравнение;
найти все корни характеристического уравнения l₁, l₂, ... , l_n;
записать фундаментальную систему решений y₁(x), y₂(x), ..., y_n(x);
записать выражение для общего решения y(x)= c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) + ... + c_n y_n(x).

Билет38