Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Нижняя и верхняя интегральные суммы

Пусть функция определена на отрезке ,a<b. Разобьем этот отрезок на n произвольных частей точками

Обозначим это разбиение через , а точки будем называть точками разбиения. В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольную точку . Через обозначим разность , которую будем называть длиной частичного отрезка .

Составим сумму

(1)

которую назовем интегральной суммой для функции f(x) на [a,b], соответствующей данному разбиению [a,b] на частичные отрезки и данному выбору промежуточных

точек . Геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами , если f(x)>=0.

Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка разбиения : .

Определение:Если существует конечный предел I интегральных сумм (1) при , то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается следующим образом:

т.е.

В этом случае функция f(x) называется интегрируемой на [a,b]. Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, x – переменной интегрирования.

Билет 14.

Свойства определенного интеграла

1. По определению

1. По определению

1. Каковы бы ни были числа a, b, c, всегда имеет место равенство

1. Постоянный множитель можно выносит за знак определенного интеграла, т.е.

1. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.

Формулы оценки определенных интегралов

Будем полагать, что .

1. Если всюду на отрезке , то .

2. Если всюду на отрезке , то .

3. Если интегрируема на отрезке , то .

4. Если и - соответственно максимум и минимум функции на отрезке , то

.

Билет 15.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Если функция интегрируема на отрезке , то она интегрируема и на отрезке , где . Рассмотрим функцию аргумента

. (1)

Назовем функцию интегралом с переменным верхним пределом. В формуле (1) переменная интегрирования обозначена буквой , чтобы избежать путаницы с переменным верхним пределом .

Теорема: Непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция

.

Таким образом, любая непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную в форме определенного интеграла с переменным верхним пределом. Поскольку всякая другая первообразная отличается от на постоянную величину, то связь между неопределенным и определенным интегралами имеет вид

,

где С – произвольная постоянная.

Билет 16.