БАЗИС. МАТРИЦЫ ПЕРЕХОДА. ПРОЦЕСС ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ

7.1. Найти базис системы векторов:

1. векторов, лежащих на одной прямой;

2. на плоскости;

3. матриц второго порядка ;

4. многочленов степени

7.2. Найти какой-нибудь базис системы векторов:

1. 2.

7.3. Найти координаты вектора х в базисе:

1.

2.

7.4. Найти координаты многочлена

1. в базисе:

2. в базисе:

3. в базисе:

7.5. Найти базис пространства, заданного системой линейных уравнений:

7.6. Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом и найти матрицу перехода от старого базиса к новому.

1.

2.

7.7. Найти координаты вектора в базисе , если он задан в базисе :

1. 2.

=(6,-1,3), =(1,2,4).

7.8. Проверить, что векторы следующих систем попарно ортогональны, и дополнить их до ортогональных базисов:

1. 2.

7.9. Найти векторы, дополняющие следующие системы векторов до ортонормированных базисов:

1. 2.

7.10.Применяя процесс ортогонализации построить ортонормированный базис подпространства

1. 2.

 

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ.

МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРОВ

8.1. Пусть оператор А поворачивает все векторы на плоскости ХОУ на угол против часовой стрелки. Найти матрицу оператора А.

8.2. В пространстве многочленов от t степени меньшей или равной 5 положим (оператор дифференцирования). Найти матрицу оператора в базисе:

а) , , , , ;

б) , , , , .

8.3. Доказать линейность и найти матрицу оператора (в базисе ):

а) проектирования на ось ОХ;

б) проектирования на плоскость z=0;

в) проектирования на ось ОУ;

г) проектирования на плоскость у=0;

д) проектирования на плоскость 0yz;

е) поворота относительно оси 0z на угол в положительном направлении.

КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

8.5. Привести к каноническому виду квадратичную форму. Найти матрицу перехода. Выяснить знакоопределенность формы (положительно определенная, отрицательно определенная, знакопеременная)

1) ;

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

 

ЧИСЛО И ВЕКТОР ФРОБЕНИУСА. ПРОДУКТИВНОСТЬ МАТРИЦ.

9.1. Найти число и вектор Фробениуса матрицы А:

а) б) в) г) .

9.2. Найти число Фробениуса матриц:

а) б) в) г) .

9.3. Продуктивна ли матрица:

а) б) в) г)

д) .

9.4. При каких матрица:

а) б) будет продуктивной?

9.5. Найти запас продуктивности матрицы:

а) б) .

ВЕКТОРЫ. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ.

ВЕКТОРЫ

10.1. Вычислить направляющие косинусы вектора и орт вектора ( ):

а) ;

б) ;

в) .

10.2. Может ли вектор составлять с координатными осями следующие углы:

а) , , ;

б) , , .

10.3. Определить координаты точки М, если ее радиус вектор составляет с координатными осями одинаковые углы, а его модуль равен .

10.4. По данным векторам и построить

а) + , б) - , в) - , г) - - .

10.5. Даны: , , и . Найти .

10.6. Даны: , , и . Найти .

10.7. Проверить коллинеарность векторов и . Установить во сколько раз один длиннее другого и как они направлены (в одну или противоположные стороны).

а) б)

10.8. Проверить, что четыре точки А, В, С, Д служат вершинами трапеции:

а) А(3,-1,2), В(1,2,-1), С(-1,1,-3), Д(3,-5,3).

б) А(-1,5,-10), В(5,-7,8), С(2,2,-7), Д(5,-4,2).

10.9. Даны векторы (2,-3,6) и (-1,2,-2). Определить координаты вектора , направленного на биссектрисе угла между векторами и , при условии, что .

10.10. Векторы (2,6,-4) и (4,2,-2) совпадают со сторонами треугольника АВС. Определить координаты векторов , и , совпадающих с медианами треугольника.

10.11. Доказать, что если и неколлинеарные векторы, то любой вектор , лежащий в их плоскости, может быть представлен в виде: и это представление однозначно.

10.12. Даны четыре вектора: , , , . Найти координаты каждого вектора в базисе из остальных векторов.