Подготовить конспект на следующие темы. 1. Производная функции и ее геометрическая и физическая интерпретация
1. Производная функции и ее геометрическая и физическая интерпретация. Правая и левая производные. 2. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного. 3. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала. 4. Производная и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Вариант 2 1) Найти производные функций: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) . 2) Найти дифференциалы указанного порядка а) ; б) . 3) Найти производную , если . 4) Вычислить , если . 5) В каких точках функция может иметь экстремум: . 7) Вычислить с помощью дифференциалов . Подготовить конспект на следующие темы 1. Понятие дифференцируемости функции. Дифференциал функции. 2. Теорема о производной обратной функции. Вычисление производных некоторых простейших элементарных функций. 3. Дифференцирование функции, заданной параметрически. 4. Таблица производных простейших элементарных функций. Правило дифференцирования сложной функции. Логарифмическая производная. Самостоятельная работа №5 Исследование функций Вариант 1 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 2 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 3 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 4 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 5 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 6
Вариант 7 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: 2. Исследовать функцию и построить ее график:
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 12 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 13 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 14 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 15 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 16 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 17 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 18 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 19 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 20 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке: ; 2. Исследовать функцию и построить ее график: Вариант 21
Вариант 22
Вариант 23
Вариант 24
Вариант 25
Вариант 26
Вариант 27
Вариант 28
Вариант 29
Вариант 30
Решение типового варианта Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке Решение. Функция достигает наибольшего и наименьшего значения либо в критических точках, принадлежащих заданному отрезку, либо на концах этого отрезка. Найдем критические точки (т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует): при и Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка Выберем из предложенных значений наибольшее и наименьшее. Итак, наибольшее значение функции на заданном отрезке равно 2 и достигается при , , а наименьшее значение равно -18 при , Пример 2. Исследовать функцию и построить ее график. Решение.
Общая схема исследования функций:
1. Найти область определения функции. 2. Исследовать поведение функции на концах области определения. Найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в этих точках. Найти вертикальные асимптоты. 3. Выяснить, является функция четной, нечетной, периодической. 4. Найти точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. 5. Найти наклонные асимптоты графика функции. 6. Найти точки экстремума и интервалы возрастания и убывания функции. 7. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. 8. Построить схематический график функции, используя все полученные результаты.
1. Функция не определена, если Область определения: 2. Т.к. - точка разрыва функции исследуем поведение функции в этой точке слева и справа Т.к. пределы равны значит точка разрыва второго рода. Следовательно, прямая - вертикальная асимптота. 1. Проверим функцию на четность, нечетность. Напомним, что функция называется четной (нечетной) если выполнены два условия:
Если четная, то график симметричен относительно оси ординат, а для нечетной – относительно начала координат. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.е. общего вида. Функция не является периодической 4. Найдем точки пересечения графика функции с осями координат Найдем промежутки знакопостоянства функции 5. Найдем наклонные асимптоты где
Для k и b вычисляются аналогично 6. Найдем точки экстремума функции и промежутки монотонности. Возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной : если в некотором интервале , то в этом интервале функция возрастает, а если , то функция убывает в этом интервале. Функция может иметь экстремум только в тех точках, которые принадлежат области определения и в которых ее производная равна нулю или не существует. Если меняет знак с “+” на “-” при переходе через исследуемую точку, то эта точка максимума, если меняет знак с “-” на “+” при переходе через исследуемую точку, то эта точка является точкой минимума. Если не меняет знак при переходе через точку , в этой точке экстремума нет. Найдем все точки из области определения функции , в которых производная обращается в ноль или не существует.
Составим таблицу
Функция возрастает на интервалах , , и убывает на интервале . Точка есть точка минимума 7. Найдем точки перегиба и промежутки выпуклости и вогнутости функции Напомним, что график функции называется выпуклым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит ниже любой своей касательной. График функции называется вогнутым на интервале , если в каждой точке этого интервала график лежит выше любой своей касательной.
Точки, в которых функция меняет выпуклость на вогнутость или наоборот, называются точками перегиба. Перегиб возможен в точках, в которых равна нулю или не существует. Если на интервале , то график функции является выпуклым на этом интервале, если же , то на интервале график вогнутый .
Найдем точки перегиба
Составим таблицу
Точка - точка перегиба. Дополнительные точки: 8. Построим график функции, используя результаты исследования.
Замечание: При построении графика масштабы по оси OX и OY могут не совпадать.
Популярное: Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (505)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |