Функции нескольких переменных (теория, задачи)

1. Какова формула частного приращения функции по аргументу ?

 

а) б)

в) г)

 

2. Закончите определение. Число называется пределом функции при и , если для любого сколь угодно малого , найдется положительное число , такое, что для всех , , выполняется …

 

а) б) в) г)

 

3. Закончите определение. Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется …

 

а) б)

в) г)

4. Найти , если

а) 2ху б) 2х в) х г) 2х+у.

5. Найти , если

а) б) в) г) .

6. Найти , если

а) б) в) г)

7. Найти , если

а) б) в) г) .

8. Найти , если

а) б) в) г) .

 

9. Найти , если

а) б) в) г) .

 

10. Найти , если

а) б) в) г) .

 

Кейс-задания

 

1.1)Предприятие производит изделия двух видов- и использует для этого сырье двух типов- . Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы на таблице:

Пусть ежедневный объем выпуска изделий составляет и соответственно, тогда математическая модель для нахождения ежедневного выпуска каждого вида изделий может иметь вид …

1. 
2. 
3. 
4. 

 

1.2) Предприятие производит изделия двух видов- и использует для этого сырье двух типов- . Нормы затраты сырья на единицу продукции каждого вида и объем расхода за 1 день заданы на таблице:

Установите соответствие между видом изделия и ежедневным объемом его выпуска.

1.3)Зависимость объема выпуска Y от количества используемых трудовых ресурсов L определяется функцией Y=F(L) как

При а=8 объема выпуска не превзойдетвеличин…

Укажите не менее двух вариантов ответа:

1. 47

2. 48

3. 46

4. 49

 

 

2.1)Из половины круглого бревна с радиусом R=12 см вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно а и высота b(см. рисунок).

Оставшаяся часть бревна поступает в отходы.

Значение высоты балки b, при котором количество отходов минимально, равно ____см.

1. 
2. 
3. 12
4. 6

 

2.2) Из половины круглого бревна с радиусом R=12 см вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно а и высота b(см. рисунок).

Оставшаяся часть бревна поступает в отходы.

Пусть - площадь балки в случае, когда основание балки равно половине высоты , а -наибольшая возможная площадь поперечного сечения балки. Тогда значение выражения равно …

2.3) )Производительность труда рабочего в течении 8-часового рабочего дня меняется по эмпирической формулу .

Средняя производительность работника (за 1 час) равна …

 

3.1) На рисунке изображен график скорости автомобиля V(t) при его прямолинейном движении для 0 < t <14 ,где t- время с момента старта, который состоит из отрезков прямых.

Пусть r(t)- расстояние, на которое удалился автомобиль за время t от …

Указать несколько:

1. t (5;6)
2. t (11;12)
3. t (12;13)
4. t (9;10)

3.2) )Издержки производства С(у.е.) зависят от объема выпускаемой продукции х (ед.) как .

 

Если значения х принадлежат отрезку [2;7], то наибольшие издержки производства равны …

 

 

3.3) На рисунке изображен график скорости автомобиля V(t) при его прямолинейном движении для 0 < t <14 ,где t- время с момента старта, который состоит из отрезков прямых.

Если В-расстояние, на которое удалился автомобиль за время движения от точки старта, то значение В равно …

 

Вопросы к экзамену

1. Элементы теории множеств. Выпуклые множества и их свойства. Множество вещественных чисел.

2. Функция. Область определения, область значения функции. Способы задания и основные свойства функции. Основные элементарные функции, их свойства и графики.

3. Виды преобразований графиков функций. Суперпозиция функций. Обратная функция, ее график и свойства.

4. Числовые последовательности. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной и ограниченной последовательности.

5. Предел функции в точке и на бесконечности. Пределы монотонных функций. Свойства функций, имеющих предел в точке или на бесконечности. Замечательные пределы.

6. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (величины), их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции, их применение в вычислениях пределов.

7. Непрерывность функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке. Точки разрыва функции.

8. Непрерывность функции на отрезке. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, существование промежуточных значений.

9. Числовые ряды. Сходимость ряда. Необходимый признак сходимости ряда. Эталонные ряды.

10. Ряды с положительными членами. Признаки сравнения.

11. Ряды с положительными членами. Признаки Даламбера и Коши.

12. Ряды с членами произвольного знака. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

13. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда.

14. Ряды Маклорена и Тейлора. Разложение функций в ряды Маклорена и Тейлора.

15. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Геометрический и физический смысл производной функции. Производная сложной и обратной функции. Правила дифференцирования, таблица производных.

16. Дифференциал функции и его геометрический смысл. Дифференцирование функций, заданных параметрически.

17. Применение дифференциала к приближенным вычислениям функций. Производные и дифференциалы высших порядков.

18. Точки экстремума функции. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа, Коши, их применение.

19. Правило Лопиталя. Применение производной функции к вычислению пределов.

20. Условия монотонности функций. Экстремумы функции, необходимые и достаточные условия точек экстремума.

21. Наибольшее и наименьшее значения функции дифференцируемой на отрезке. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба.

22. Асимптоты функции. Общая схема исследования функции и построение ее графика.

23. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Интегрирование рациональных функций.

24. Интегрирование некоторых видов иррациональностей. Интегрирование тригонометрических функций. Таблица интегралов.

25. Методы замены и интегрирования по частям в неопределенном интеграле.

26. Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница, ее применение в вычислении определенных интегралов. Геометрический смысл.

27. Методы замены и интегрирования по частям в определенном интеграле.

28. Двойной и тройной интегралы, их свойства.

29. Функции многих переменных. Функция двух переменных, геометрический смысл. Область определения.

30. Предел функции двух переменных. Частные производные. Полный дифференциал, его связь с частными производными.

31. Производная по направлению. Градиент.

32. Частные производные высших порядков. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимое условие экстремума.

33. Условный экстремум. Метод множителей Лагранжа, применение в поиске оптимальных решений.

34. Комплексные числа, действия над ними. Изображение комплексных чисел на плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

35. Алгебраическая, тригонометрическая, показательная формы записи комплексного числа. Корни из комплексных чисел