Конец дидактического материала занятия 4

 

 

Вопросы для предварительной самостоятельной подготовки задания 4

1. Основные положения формирования производственного плана предприятия в экономике муниципального образования и региона

2. Структура Вашей интеллект – карты в приложении к муниципальному образованию (Наименование муниципального образования)

3. Сформировать производственный план предприятия в экономике муниципального образования и региона.

Тема 5.Социальная политика и рынок труда региона. (4 часа)

Занятие 5. Тема занятия. Постановка и моделирование задачи годового плана концерна в регионе -(МАО). (4 час.)

 

5.1. Постановка задачи годового плана концерна

Моделирование и формирование производственного плана концерна представим на конкретном примере в виде векторной задачи линейного программирования вида (2.6.13)-(2.6.17).

Дано. Концерн представлен шестью подразделениями, функционирующих на шести стратегических рынках q= , Q=6. Он выпускает неоднородную продукцию двенадцати видов,, j= , N=12. Каждый рынок описан одним критерием, который определяет объем продаж (производства): f₁(X₁(t)) – f₆(X₆(t)).

Целенаправленность концерна в целом представлена тремя критериями объемом продаж - f₇(X(t)), объемом прибыли – f₈(X(t)) и валовой добавленной стоимостью – f₉(X(t)), получаемых от всех рынков k= , K=9. Все зоны бизнеса (рынки) для фирмы важны и актуальны.

Таблица 2.8

Технологическая матрица производства

Экономи-ческие показатели	Товары, разделенные по предприятиям	Стои-мость ед. ресурса
Стоимость 3
1 ед. 4
продукции 5
Матери- 1		0,23	0,57		0,83					2,68	3,09
альные 2		2,13			1,85		3,03	2,58			1,26	2,05
ресурсы 3			0,76			1,64		1,06	2,32			1,188
	0,68		1,74			1,25		0,96	1,07	2,63	1,38	3,05
Трудовые 5	1,04		0,93	0,84	1,03	0,25		0,53		0,61		0,3
ресурсы 6	0,55	1,06		1,34	0,86			1,04		0,26
Мощности 7							1,62	0,17		0,33	1,2
	0,3	0,21			1,5	0,62	0,7	0,14	0,98	1,04
Предпри- 9
ятия 10
						0,8
								1,5
									0,8	1,3

 

На функционирование фирмы оказывают влияние четырнадцать ограничений. Восемь из них являются глобальными, они включают четыре ограничения по материальным ресурсам, и по два ограничения трудовым ресурсам и мощностям. Остальные шесть ограничений связаны с локальными возможностями каждого подразделения. Технологическая матрица производства представлена в табл. 2.8.

Статистический анализ показал, что управленческие затраты составляют 35% от производственной себестоимости одного изделия, коммерческие затраты 20% и амортизация – 6%. Налоги составляют 20% от прибыли до налогообложения.

Требуется:

а) Определить производственный план концерна, который включает показатели по номенклатуре (по видам изделий) и по объему, т. е. сколько изделий соответствующего вида изделия следует изготовить каждому предприятию, чтобы доход, прибыль и валовая добавленная стоимость при их реализации была как можно выше. При этом в полученном решении должно быть решена задача распределения глобальных ресурсов между шестью подразделениями при условии их равнозначности для фирмы.

б) Составить модель производственного плана предприятия, в которой максимизируется указанные выше экономические показатели и провести моделирование. Решить в системе Matlab задачи, лежащие в основе математических моделей.

Решение. Моделирование и формирование производственного плана концерна представим в три этапа: постановка задачи, решение ВЗЛП (2.6.13)-(2.6.17) при равнозначных критериях, анализ результатов решения и принятие окончательного решения.

Постановка задачи включает подготовку экономических показателей, составляющих основу модели, и ее построение

Подготовку экономических показателей проведем в системе Excel. Используя данные табл.2.8, рассчитаем затраты по материальным, трудовым ресурсам и мощностям в денежных единицах на одно изделие. Результаты расчета представим в табл. 2.9.

Таблица 2.9

Затраты по материальным, трудовым ресурсам и мощностям (руб.)

Наименование ресурса	Стоимость единицы ресурса для производства товара
Матери- 1		5,52	13,68		19,92					64,32	74,16
альные 2		31,95			27,75		45,45	38,7			18,9	30,75
ресурсы 3			22,8			49,2		31,8	69,6			35,64
	12,24		31,32			22,5		17,28	19,26	47,34	24,84	54,9
Трудовые 5	41,6		37,2	33,6	41,2			21,2		24,4
ресурсы 6	23,1	44,52		56,28	36,12			43,68		10,92
Мощности 7							106,92	11,22		21,78	79,2
	13,8	9,66				28,52	32,2	6,44	45,08	47,84
Предпри- 9
ятия 10
									19,2	31,2

 

Объединим данные табл.2.9 и получим суммарные затраты по материальным (строки 1+…+4 табл.2.9), трудовым (строки 5+6) ресурсам, мощностям (строки 7+8) и производственную себестоимость (строки 1+…+14) одного изделия в денежных единицах. Результаты расчета представим в табл. 2.10.

Таблица 2.10

Затраты по видам ресурсов (руб.)

Наименование вида ресурса	Стоимость единицы видов ресурсов
Материальные затраты	126,24	97,47	67,8		77,67	71,7	45,45	183,78	118,86	156,66	117,9	121,29
Трудовые затраты	64,7	44,52	37,2	89,88	77,32			64,88		35,32
Мощности	13,8	75,66				160,52	139,12	17,66	111,08	69,62	125,2
Производствен. себестоимость	244,74	277,65		609,88	319,99	308,22	236,57	305,32	249,14	292,8	339,1	461,29

 

Используя статистические данные за несколько лет, вычислим в среднем, что управленческие затраты составляли 35% от производственной себестоимости, коммерческие затраты – 20%, амортизация -6%. В совокупности эти затраты представляют накладные расходы и представлены в табл. 2.11.

Прибыль до налогообложения рассчитаем по формуле:

Прибыль до налогообложения

=

Стоимость единицы товара

-

Производственная себестоимость

-

Накладные расходы

Из прибыли до налогообложения до налогообложения вычитаем налоги - 20% и получим чистую прибыль от одной единицы продукции и представим ее в той же табл. 2.11.

Полученные численные значения экономических показателей (стоимостей, ресурсных затрат, чистой прибыли, добавочной стоимости) используем при построении модели.

 

Таблица 2.11

Затраты по видам: материальным, трудовым ресурсам и мощностям (руб.)

Экономические показатели	Стоимость единицы видов ресурсов
Стоимость
Прибыль до налогообложен.	205,97	202,98	116,6	218,09	84,82	53,77	69,12	108,43	98,88	128,59	154,05	57,32
Налоги 20%	41,194	40,597	23,33	43,62	16,96	10,75	13,82	21,69	19,78	25,72	30,8	11,46
Чистая прибыль	164,8	162,4	93,3	174,5	67,9	43,0	55,3	86,7	79,1	102,9	123,2	45,9
Добавочная стоимость	473,8	552,5	332,2	1 152,0	522,3	478,3	404,6	416,2	381,1	443,3	582,1	678,7

Построение модели производственного плана проведем в три этапа:

Обозначим: X(t)={X₁(t)={x₁(t), x₂(t)},..., X₆(t)={x₁₁(t), x₁₂(t)}} - вектор неизвестных, выражающий объемы производства и продаж каждым подразделением и фирмы в целом в планируемом году t=1, tÎT.

с — рыночная цена единицы продукции j–го вида, j = , выпущенного на q-м предприятии; с — объем продаж и прибыль, получаемая фирмой от продажи единицы продукции j-го вида, j = , k=7,8; числовые значения с и с показаны на модели; a_ij – норма расхода ресурсов показывает, какое количество единиц i–го ресурса, необходимого при производстве едини­цы продукции j–го вида – они показаны на модели. В ней также указаны потенциальные возможности предприятия по каждому видов ресурсов b_i, i= .

Перед управляющим фирмы стоит задача выбора оптимальной номенклатуры и объемов продукции, в наибольшей степени удовлетворяющих показателям фирмы. Эту целенаправленность выразим в виде векторной задачи линейного программирования:

opt F(X(t))={max f₁(X₁(t)),…, max f₆(X₆(t))}, (2.7.1)

{max f₇(X(t))≡f₁(X₁(t))+f₂(X₂(t))+,…,+f₆(X₆(t)),

max f₈(X(t)), max f₉(X(t))}, (2.7.2)

при ограничениях:

a_ij(t)x_j(t)£ b_i(t), i= , (2.7.3)

a (t)x_j(t)£ b (t), i= , qÎQ, (2.7.4)

х_j(t)£u_j(t), j= , (2.7.5)

где (2.7.1) – критерии подразделений (предприятий), (2.7.2) – критерии фирмы в целом, (2.7.3) – глобальные ограничения, (2.7.4) – локальные ограничения (предприятий), (2.7.5) – ограничения в соответствии с запросами рынка.

Представим задачу векторную задачу линейного программирования – модель годового плана (2.7.1)-(2.7.5) с числовыми исходными данными:

opt F(X(t))={max f₁(X₁(t)) ≡ 600x₁(t)+650x₂(t),

max f₂(X₂(t))≡ 400x₃(t)+1200x₄(t),

max f₃(X₃(t))≡ 600x₅(t)+550x₆(t),

max f₄(X₄(t))≡ 450x₇(t)+600x₈(t),

max f₅(X₅(t))≡ 500x₉(t)+600x₁₀(t),

max f₆(X₆(t))≡700x₁₁(t)+800x₁₂(t),

max f₇(X(t))≡600x₁(t)+650x₂(t)+400x₃(t)+1200x₄(t)+600x₅(t)+ 550x₆(t)+ 450x₇(t) +600x₈(t)+500x₉(t)+600x₁₀(t)+700x₁₁(t)+800x₁₂(t),

max f₈(X(t))≡164.8x₁(t)+162.4x₂(t)+93.3x₃(t)+174.5x₄(t)+67.9x₅(t)+ 43x₆(t)+ 55.3x₇(t)+86.7x₈(t)+79.1x₉(t)+102.9x₁₀(t)+123.2x₁₁(t)+45.9x₁₂(t)},

max f₉(X(t))≡473.8x₁(t)+552.5x₂(t)+332.2x₃(t)+1152x₄(t)+522.3x₅(t) +478.3x₆(t)+ 404.6x₇(t) +416.2x₈(t)+381.1x₉(t)+443.3x₁₀(t)+582.1x₁₁(t) +678.7x₁₂(t)}, (2.7.6)

при ограничениях:

1x₁(t)+0.23x₂(t)+0.57x₃(t)+2x₄(t)+0.83x₅(t)+4x₈(t)+2.68x₁₀(t)+ 3.09x₁₁(t)£16000

3x₁(t)+2.13x₂(t)+1.85x₅(t)+3.03x₇(t)+2.58x₈(t)+2x₉(t)+1x₁₀(t)+ 1.26x₁₁(t)+2.05x₁₂(t)£21500,

2x₂(t)+0.76x₃(t)+1x₅(t)+1.64x₆(t)+1.06x₈(t)+2.32x₉(t)+1x₁₀(t)+ 1.188x₁₂(t) £12300,

0.68x₁(t)+1.74x₃(t)+1.25x₆(t)+0.96x₈(t)+1.07x₉(t)+2.63x₁₀(t)+ 1.38x₁₁(t)+3.05x₁₂(t)£14600,

1.04x₁(t)+0.93x₃(t)+0.84x₄(t)+1.03x₅(t)+0.25x₆(t)+0.53x₈(t)+ 0.61x₁₀(t)+ 0.3x₁₂(t) £ 8700,

0.55x₁(t)+1.06x₂(t)+1.34x₄(t)+0.86x₅(t)+1x₆(t)+1.04x₈(t)+0.26x₁₀(t)+ 1x₁₂(t) £ 9000,

1x₂(t)+5x₄(t)+1x₅(t)+2x₆(t)+1.62x₇(t)+0.17x₈(t)+1x₉(t)+0.33x₁₀(t)+ 1.2x₁₁(t)+1x₁₂(t)£11400,

0.3x₁(t)+0.21x₂(t)+1x₃(t)+2x₄(t)+1.5x₅(t)+0.62x₆(t)+0.7x₇(t)+0.14x₈(t)+0.98x₉(t)+1.04x₁₀(t)+1x₁₁(t)+2x₁₂(t)£18800, (2.7.7)

2x₁(t)+3x₂(t) £ 18000, (2.7.8)

1x₃(t)+2x₄(t) £ 17000,

1x₅(t)+0.8x₆(t) £ 18000,

2x₇(t)+1.5x₈(t) £ 24000,

0.8x₉(t)+1.3x₁₀(t) £ 21000,

3x₁₁(t)+4x₁₂(t) £ 29000, (2.7.9)

100£x₁(t)£1000, 100£x₂(t) £1000, … , 100£x₁₂(t)£1000, (2.7.10)

где в последних строках приведены ограничения, связанные с маркетинговыми исследованиями и с минимальными значениями переменных.

В этой ВЗЛП формулируется следующее: требуется найти неотрицательное решение x₁,…, x₁₂, в системе неравенств (2.7.7)-(2.7.10), такое, при котором функции f₁(X),…, f₉(X) принимают мак­симально возможное значение.

 

5.2. Моделирование задачи годового плана концерна

 

Моделирование годового плана концерна представляет многократное решение ВЗЛП (2.7.7)-(2.7.10) в системе Matlab при равнозначных критериях с различными исходными данными, при необходимости с приоритетом того или иного критерия, в заключение выбора окончательного решения.

Для решения сформированной векторной задачи линейного программирования представим исходные данные в системе Matlab.

Формируется векторная целевая функция в виде матрицы:

disp('Исходные данные ВЗЛП')

c=[-600. -650. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. -400. -1200. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. -600. -550. 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. -450. -600. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. -500. -600. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. -700. -800.;

-600 -650 -400 -1200 -600 -550 -450 -600 -500 -600 -700 -800;

-164.8 -162.4 -93.3 -174.5 -67.9 -43.0 -55.3 -86.7 -79.1 -102.9 -123.2 -45.9;

-473.8 -552.5 -332.2 -1152. -522.3 -478.3 -404.6 -416.2 -381.1 -443.3 -582.1 -678.7];

матрица линейных ограничений:

a=[1. 0.23 0.57 2. 0.83 0. 0. 4. 0. 2.68 3.09 0.;

3. 2.13 0. 0. 1.85 0. 3.03 2.58 2. 1. 1.26 2.05;

0. 2. 0.76 0. 1. 1.64 0. 1.06 2.32 1. 0. 1.188;

0.68 0. 1.74 0. 0. 1.25 0. 0.96 1.07 2.63 1.38 3.05;

1.04 0. 0.93 0.84 1.03 0.25 0. 0.53 0. 0.61 0. 0.3;

0.55 1.06 0. 1.34 0.86 1. 0. 1.04 0. 0.26 0. 1.;

0. 1. 0. 5. 1. 2. 1.62 0.17 1. 0.33 1.2 1.;

0.3 0.21 1. 2. 1.5 0.62 0.7 0.14 0.98 1.04 1. 2.;

2. 3. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 1. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 1. 0.8 0. 0. 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. 2. 1.5 0. 0. 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0.8 1.3 0. 0.;

0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 3. 4.];

вектор, содержащий ограничения (b_i):

b=[16000. 21500. 12300. 14600. 8700. 9000. 11400. 18800. 18000. 17000. 18000. 24000. 21000. 29000.];

ограничения равенства: Aeq=[]; beq=[];

ограничения накладываемые на нижние и верхние границы переменных: lb=[100. 100. … 100.]; ub=[1000. 1000. … 1000.];

Алгоритм решения ВЗЛП представим как последовательность шагов.

Шаг 1. Решение по каждому критерию – наилучшее.

Решение по первому критерию:

[x1,f1]=linprog(c(1,:),a,b,Aeq,beq,lb,ub)

где x1 - вектор оптимальных значений переменных по первому критерию;

f1 – величина целевой функции в этой точке.

x1=X ={x₁= 4647.5, x₂=2901.7, x₃=1391.7, x₄=460.6, x₅=100, x₆=723.2, x₇=100, x₈=100, x₉=100, x₁₀=100, x₁₁=100, x₁₂=100}- объемы продукции, выпускаемые первой ЛП.

f1=f = 4674600 - объем продаж полученный первым подразделением от реализации X - объемов продукции.

Подсчитаем объемы продаж, прибыли и добавленной стоимости по фирме в целом f₇(X )=6606700, f₈(X )=1534500, f₉(X )= 5486800.

Объем продаж f = 4674600 рассчитан из предположения, что первой ЛП отданы все глобальные ресурсы. В дальнейшем эта величина и аналогичные величины последующих критериев служат числовой целью при их совместной оптимизации.

Аналогично получены результаты решения по остальным восьми критериям k= . Числовые значения результатов решения по критериям k= представлены на третьем шаге.

Шаг 2. Решение по каждому критерию – наихудшее (антиоптимум). Для этого каждый критерий умножается на минус единицу. Обращение к функции linprog(…) выглядит следующим образом:

[x1min,f1min]=linprog(-1*c(1,:),a,b,Aeq,beq,lb,ub)

В результате решения получили: x1min =X ={x₁=100.0, x₂=100.0, x₃=1904.7, x₄=330.1, …}, f1min=f =125000.

Аналогично получены результаты по остальным критериям k= . В дальнейшем будут использоваться лишь величины критериев:

f2min=f =160000, f3min=f =115000, f4min=f =105000, f5min=f =110000, f6min=f =150000, f7min=f =765000, f8min=f =119900, f9min=f =641710.

Шаг 3. Выполняется анализ критериев в ВЗЛП, для чего в оптимальных точках X , …, X определяются величины целевых функций F(X^*)={{f_q(X ), k= }, q= , К=9} и относительных оценок l(X^*)={{l_q(X ), k= }, q= }.

В системе Matlab вычисление этих функций будет следующим:

f=[c(1,:)*x1 c(2,:)*x1 … c(9,:)*x1;

c(1,:)*x2 c(2,:)*x2 … c(9,:)*x2;

. . .

c(1,:)*x9 c(2,:)*x9 … c(9,:)*x9]

F(X^*)=f= Определяются отклонения d_k=f -f , k= и относительные оценки l_k(X)= , k= . d1=-f1-f1min =4549600, аналогично d2 =5176100, d3=5219500, d4=3701600, d5=3860600, d6=5087600, d7=8512000, d8=1937200, d9=7159400.

l(X^*)=L= Шаг 4. Формирование и решение l - задачи:

Исходные данные l-задачи вытекают из примера (2.7.6)-(2.7.10) и организованы аналогично тестовому примеру из раздела 2.4.2. Обращение:

[x0,L0]=linprog(c0,ao,bo,Aeq,beq,lbo,ubo).

В результате решения получим:

· точку оптимума

X^o=x0={L0 =0.2654, x₁= 733.6, x₂=1372.6, x₃= 2642.8, x₄=397.1, x₅= 2408.6, x₆=100.0, x₇=1182.8, x₈=925.2, x₉= 690.4, x₁₀=1315.5, x₁₁=1108.3, x₁₂= 905.4};

· максимальную относительную оценку в этой точке l^o= L0=0.2654;

· значения критериев в точке оптимума f_k(X^o), k= :

f₁(X^o)=1332400, f₂(X^o)=1533600, f₃(X^o)=1500100, f₄(X^o)=1087300,

f₅(X^o)=1134500, f₆(X^o)=1500200, f₇(X^o)=8088200, f₈(X^o)=1341200, f₉(X^o)=6716700.

· относительные оценки l_k(X^o), k= .

Относительная оценка l^o=0.2654 показывает, что все независимые критерии, (а к таким относятся все предприятия концерна), измеренные в относительных единицах, подняты до этой величины и равны l^o=l_q(X^o(t)), q= : l₁(X^o)=0.2654, l₂(X^o)=0.2654, l₃(X^o)=0.2654, l₄(X^o)=0.2654, l₅(X^o)=0.2654, l₆(X^o)=0.2654, и это практически подтверждает теоретически доказанную теорему 1 раздела 9.5, а остальные критерии равны или больше , l^o£ l_k (X^o(t)), k= : l₇(X^o)=0.8603, l₈(X^o)=0.6305, l₈(X^o)=0.8485.

Таким образом, максимальная относительная оценка l^o является гарантированным результатом и выполняет условия теоремы о независимых критериях.

Анализ результатов решения и принятие окончательного решения.

Анализ результатов начинается с проверки загрузки ресурсов по каждой ЛП, как по своим собственным, так и по всем глобальным ресурсам:

r =A X , i= , q= .

В системе Matlab это будет выглядеть следующим образом:

r=[a(1,1:2)*x0(2:3) a(1,3:4)*x0(4:5) … a(1,11:12)*x0(12:13);

…

a(14,1:2)*x0(2:3) a(14,3:4)*x0(4:5) … a(14,11:12)*x0(12:13)],

в итоге получили:

r(X^*)=r= .

Затем определяется общая сумма затрат:

· глобальных ресурсов: R_i= r =A X^o, i= : R₁(X^o)=16000, R₂(X^o)= 21500, R₃(X^o)=12300, R₄(X^o)=14600, R₅(X^o)=7625, R₆(X^o)=6772, R₇(X^o)=11400, R₈(X^o)=13542;

· затрат по локальным подсистемам: R₉(X^o)= 5585.1, R₁₀(X^o)= 3437, R₁₁(X^o)= 2488.6, R₁₂(X^o)=3753.3, R₁₃(X^o)=2262.5, R₁₄(X^o)=6946.6.

Сравниваются полученные затраты глобальных ресурсов с возможностями фирмы (концерна) в их приобретении b_i , i= , M=8:

· если R_i < b_i , i= , то DR_i = b_i - R_i, i= - характеризует величину недозагрузки i-го ресурса;

· если R_i > b_i , i= , то DR_i = b_i - R_i, i= отрицательно и характеризует величину недостающего ресурса (такая ситуация может быть получена только при неправильном решении задачи или искусственно);

· если R_i = b_i, i= , то DR_i = b_i - R_i = 0, i= , то загрузка i-го ресурса полная.

Определим отклонения DR_i=b_i-R_i, i= :

· для глобальных ресурсов (2.7.7): DR₁=0, DR₂ =0, DR₃=0, DR₄=0, DR₅=1075, DR₆=2228, DR₇ =0, DR₈=5258;

· для локальных ресурсов(2.7.8)-(2.7.9): DR₉=12415, DR₁₀ =13563, DR₁₁=15511, DR₁₂=20247, DR₁₃=18738, DR₁₄=22053.

Из этих соотношений вытекает, что ресурсы i=1,2,3,4,7 загружены полностью, они сдерживают дальнейший рост векторного критерия F(X).

Полученные результаты:

· номенклатура и объемы производства X^o;

· значения экономических показателей при таких объемах f_k(X^o), k= ;

· относительные оценки l_k(X^o), k= ;

· отклонения по ресурсам DR_i, i= , ;

являются основой для принятия решений.

Моделирование годового плана осуществляется путем изменения (как правило, увеличения) глобальных ресурсов b_i, i=1,2,3,4,7 и очередного просчета. Множество таких решений представляют множество альтернатив для принятия окончательного решения по годовому плану концерна.

Отклонения по локальным ресурсам (2.7.8) -(2.7.9): DR_i=b_i-R_i, i= служат основой для разработки собственного вектора управления V (t^o). Например, для первой ЛП определение этого вектора будет осуществлено путем решения задачи:

max f₁(X₁(t)= 800x₁(t)+1000x₂(t)}, (2.7.11)

при ограничениях 2x₁(t)+3x₂(t) £ 12415, (2.7.12)

x₁(t)£1000, x₂(t) £1000, x₁(t)³100, x₂(t)³100. (2.7.13)