Раздел I. Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Тема 1. Операции над векторами и матрицами. Понятие линейной алгебры. Понятия скаляра, геометрического вектора, длины вектора. Классификация векторов (коллинеарные, нулевой, единичный, одинаково направленные, противоположно направленные, ортогональные, компла­нарные). Операции над векторами (умножение вектора на скаляр, сложение векторов, разность векторов, линейная комбинация векторов, скалярное произведение векторов, векторное произведение векторов, смешанное произведение) и их свойства. Понятия n-мерного вектора и векторного пространства. Размерность и базис векторного пространства. Евклидово пространство.

Понятие матрицы. Виды матриц (матрица-строка, матрица-столбец, квадратная, диагональная, единичная, нулевая, верхняя треугольная, нижняя треугольная). Операции над матрицами (умножение матрицы на число, сложение матриц, вычитание матриц, умножение матриц, возведение в степень, транспонирование матрицы, обращение матрицы) и их свойства. Матричная запись системы линейных уравнений.

Тема 2. Определители и их свойства.Понятие определителя квадратной матрицы. Определители матриц первого, второго и третьего порядков. Правило треугольников вычисления определителя третьего порядка. Понятия минора и алгебраического дополнения элемента матрицы. Понятие определителя матрицы n-го порядка. Теорема Лапласа о вычислении опре­делителей любого порядка. Свойства определителей. Применение определителей для нахождения обратных матриц. Понятие ранга матрицы. Нахождение ранга матрицы методом окаймления миноров.

Тема 3. Системы линейных алгебраических уравнений.Понятие системы m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными и ее решения. Система n линейных уравнений с n переменными и ее решение с использованием обратной матрицы. Решение системы n линейных уравнений с n переменными методом Крамера. Решение системы m линейных уравнений с n переменными методом Гаусса. Решение системы m линейных уравнений с n переменными методом Жордана-Гаусса. Теоремы о разрешимости системы m линейных уравнений с n переменными. Система ли­нейных однородных уравнений и фундаментальная система ее решений.

Тема 4. Собственные значения матриц. Линейная модель обмена (модель международной торговли). Понятия собственного вектора и собственного значения квадратной матрицы. Характеристическое уравнение матрицы.

Тема 5. Прямые и плоскости в афинном пространстве. Понятие аналитической геометрии. Координаты на прямой, на плоскости и в пространстве. Уравнения прямой (на плоскости, с угловым коэффициентом, проходящей через точку в данном направлении, проходящей через две точки, в отрезках). Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых. Угол между двумя прямыми. Точка пересечения двух прямых. Расстояние от точки до прямой. Уравнение пучка прямых. Уравнения кривых второго порядка (окружности, эллипса, гиперболы, параболы). Общее уравнение плоскости. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоско­стей. Канонические уравнения прямой линии в пространстве. Условия па­раллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Тема 6. Выпуклые множества и их свойства. Понятие выпуклого множества точек и связанные с ним понятия. Геометрический смысл решений неравенств. Основные свойства выпуклого множества точек.

Тема 7. Комплексные числа. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация комплексного числа. Арифметические операции над комплексными числами и их свойства. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. Возведение в степень комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.

Раздел II. Математический анализ и дифференциальные уравнения (2 семестр)

Тема 8. Предел последовательности и его свойства. Понятие математического анализа. Понятие числовой последовательности и ее предела. Классификация числовых последовательностей и их свойства. Арифметические свойства пределов числовых последовательностей.

Тема 9. Предел и непрерывность функции одной переменной. Предел функции в бесконечности и его геометрический смысл. Предел функции в точке и его геометрический смысл. Односторонние пределы функции. Бесконечно малые и бесконечно большие величины, связь между ними. Признаки существования предела функции. Основные теоремы о пределах функции. Замечательные пределы. Задача о непрерывном начислении процентов и ее решение. Неопределенности при вычислении пределов функций и правила их раскрытия. Непрерывность функции. Разрывы функции.

Свойства функций, непрерывных в точке. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Задачи, приводящие к понятию производной (о мгновенной скорости неравномерного движения, об угловом коэффициенте касательной к кривой, о производительности труда). Определение производной функции одной переменной, ее механический, геометрический и экономический смыслы. Схема нахождения производной функции. Правила дифференцирования. Производные основных элементарных функций. Производные высших порядков. Механический смысл второй производной. Понятие дифференциала функции, его геометрический смысл и свойства. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.

Основные теоремы дифференциального исчисления (Ферма, Ролля, Лагранжа). Правило Лопиталя для нахождения предела функции в случае неопределенностей вида или . Возрастание и убывание функций.

Экстремум функции одной переменной. Наибольшее и наименьшее значе­ния функции на отрезке. Выпуклость функции. Точки перегиба. Асимпто­ты графика функции. Общий алгоритм исследования функции и построе­ния ее графика.

Тема 10. Экстремумы функций нескольких переменных. Понятие функции нескольких переменных и связанные с ним понятия (график функции двух переменных, гиперповерхность в (п+1)-мерном простран­стве, линия уровня функции двух переменных, карта линий уровня функ­ции двух переменных, поверхность уровня функции). Частные производ­ные функции нескольких переменных. Дифференциал функции несколь­ких переменных. Производная по направлению. Градиент функции. Ло­кальные и глобальные экстремумы функции нескольких переменных. Условный экстремум функции. Метод множителей Лагранжа.

Тема 11. Неопределенный и определенный интегралы. Первообразная функции и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интегра­ла. Таблица основных неопределенных интегралов. Основные методы ин­тегрирования (разложения, непосредственное, методом замены перемен­ной, по частям). Интегрирование правильных рациональных дробей, ирра­циональных и тригонометрических функций.

Определение определенного интеграла и условия его существования. Основные свойства определенного интеграла. Определенный интеграл как функция верхнего предела. Основная формула интегрального исчисления. Геометрические приложения определенного интеграла (вычисление пло­щадей плоских фигур, вычисление длины дуги, вычисление объемов тел вращения). Приложения определенного интеграла в экономике. Несоб­ственные интегралы.

Тема 12. Числовые и степенные ряды. Понятие числового ряда. Сходя­щиеся и расходящиеся числовые ряды. Свойства сходящихся числовых ря­дов. Необходимый и достаточные признаки сходимости числовых рядов.

Понятие степенного ряда. Область сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов. Разложение функций в ряд (ряды Тейлора и Маклорена). Применение рядов для приближенных вычислений.

Тема 13. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия теории дифференциальных уравнений. Общие сведения о диффе­ренциальных уравнениях первого порядка. Простейшие дифференциаль­ные уравнения первого порядка (с разделяющимися переменными, непол­ные, однородные, линейные) и методы их решения. Уравнение Бернулли.

Тема 14. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными ко­эффициентами. Основные понятия теории дифференциальных уравнений второго порядка. Дифференциальные уравнения второго порядка, допус­кающие понижение размерности. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (однородные и неодно­родные) и методы их решения.