ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

 

Тип.

Возможны два случая:

1. Если хотя бы один из показателей m илиn‒ нечетный, то соответствующая функция подводится под дифференциал и интеграл сводится к вычислению двух интегралов от степенных функций по формуле:

Пример:

Решение:

Если оба показателя m или n‒ нечетные, то множитель для подведения под дифференциал отделяют от меньшей из степеней.

2. Если оба показателя степени m или n‒ четные, интеграл находится понижением порядка (степени) в два раза с помощью следующих формул тригонометрии:

Пример:

Решение:

Тип.

Интегралы вида

берутся по следующим формулам тригонометрии:

Пример:

Решение:

Тип.

Интегралы вида ,

где ‒ рациональная функция относительно .

Интегралы этого вида берутся универсальной подстановкой , далее используются формулы тригонометрии, выражающие через :

Пример:

Решение:

Интегрирование некоторых видов иррациональных функций.

 

Тип.

Интегралы вида

берутся выделением полного квадрата под корнем и сводятся к следующим табличным:

Пример 1:

Решение:

Пример 2:

Решение:

Тип.

Интегралы вида

берутся выделением в числителе производной от подкоренного выражения:

, при этом исходный интеграл разобьется на сумму двух интегралов.

Первый из них

Второй интеграл относится к интегралам первого типа, рассмотренным выше.

Пример:

Решение:

 

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ФОРМУЛА НЬЮТОНА ‒ ЛЕЙБНИЦА.

 

Определенным интегралом от функции f(x)на промежутке[a;b] называется приращение первообразной функции F(x) при изменении аргумента от x = a до x = b.

Обозначается

где a ‒ нижний предел интегрирования, а b‒верхний предел интегрирования.

Из определения следует:

Пример.

Решение:

Свойства определенного интеграла.

3. Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке[a, b], то

то есть постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.

5. Если , то

Приемы вычисления определенного интеграла такие же, как и неопределенного интеграла.

 

Метод замены переменной в определенном интеграле.

 

При выполнении замены переменной в определенном интеграле надо:

1. под знаком интеграла заменить старую переменную на новую;

2. пересчитать пределы интегрирования.

Пример 1.

Решение:

Пример 2.

Решение:

 

 

Интегрирование по частям в определенном интеграле.

 

Воспользовавшись формулой интегрирования по частям в неопределенном интеграле

получим формулу интегрирования по частям в определенном интеграле.Которая примет вид:

Пример1.

Решение:

Пример 2.

Решение: