Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Это дифференциальные уравнения вида: или Проинтегрировав, найдем y. Пример. Решение: Пусть
Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Это дифференциальные уравнения вида: Решается заменой Подставим в исходное уравнение , получим
Проинтегрировав, найдем функцию Z, а затем функцию y. Пример. Решение: Пусть Тогда , так как
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
Это дифференциальные уравнения вида:
Решается подстановкой: Подставим полученное в уравнение : Подставив в равенство значение функции u, получим дифференциальное уравнение с разделяющимся переменными, решив которое, найдем функцию v, а затем и функцию y. Пример. Решение:
Подставим в уравнение , Подставим значения uв равенство (2), получим: Тогда,
Так как при x=1, , то подставив в общее решение, получим: Подставим значение Cв общее решение, получим:
Проверка:
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА, ДОПУСКАЮЩИЕ ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА.
Иногда решение дифференциальных уравнений второго порядка можно свести к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка. Тогда говорят, что дифференциальное уравнение допускает понижение порядка. Это дифференциальные уравнения вида:
или Пример 1.
Пример 2. Уравнения этого типа решаются заменой переменной Следовательно, Подставим в дифференциальное уравнение .
Подставив значение zв дифференциальное уравнение , найдем функцию y. Пример.
Решение: Так как при x= 1, y = 0 и при x = 1, , то
Ответ: . ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.
Это дифференциальные уравнения вида:
При получим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:
Для его решения составим характеристическое уравнение: При его решении возможны следующие три случая: Общее решение дифференциального уравнения второго порядка находим по формуле: 2. ЕслиD=0, то общее решение находится по формуле: Тогдаобщее решение дифференциального уравнения находим по формуле:
3. , то корни комплексно - сопряженные.
Тогда общее решение находится по формуле: Пример 1.
Решение:
При При Ответ: Пример 2.
Решение: 2 способ: При При Ответ: Пример 3.
Решение:
При Ответ:
Популярное: Модели организации как закрытой, открытой, частично открытой системы: Закрытая система имеет жесткие фиксированные границы, ее действия относительно независимы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (403)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |