Метод сеток для стационарных задач

В двумерной области с границей рассмотрим следующую краевую задачу:

L , , , (2.9)

, , (2.10)

где L – линейный эллиптический оператор, более общий, чем оператор Лапласа:

L ,

линейный оператор граничного условия.

Область покроем сеткой, образованной прямыми, параллельными осям координат (рис.8).

На рис.8 узлы сетки, , шаги сетки. Если все , , то сетка называется регулярной или равномерной.

Введем понятие сеточной области. Те узлы сетки, которые лежат внутри области вместе с четырьмя соседними, назовем внутренними узлами сеточной области. Их совокупность обозначим . Те узлы сетки, которые лежат внутри , но для которых один из соседних узлов лежит вне , называют граничными. Их совокупность обозначим через ( граница сеточной области). Тогда все множество узлов, лежащих в , образует сеточную область .

Рис.8. Прямоугольная сетка для области

Такое определение сеточной области не является единственно возможным. Выбор сеточной области определяется еще и тем, какие члены содержит уравнение.

Во внутренних узлах сеточной области записываются сеточные уравнения, аппроксимирующие дифференциальное уравнение (2.9), а в граничных узлах задаются граничные условия, аппроксимирующие (2.10). Поскольку каждому узлу сетки из соответствует значение искомой сеточной функции и в каждом внутреннем узле записывается сеточное уравнение, число сеточных уравнений равно числу внутренних узлов, т.е. числу узлов в .

Пусть сетка равномерная. Выпишем вид сеточного уравнения во внутреннем узле

(L ) . (2.11)

Это сеточное уравнение получается, если принять следующие аппроксимации:

,

.

Соответствующим образом аппроксимируются производные по .

В системе (2.11) число уравнений меньше числа неизвестных, так как в некоторых уравнениях присутствуют значения искомой функции в граничных узлах. Чтобы число уравнений стало равно числу неизвестных, следует использовать аппроксимацию граничных условий.

Рассмотрим случай первого краевого условия

. (2.10)

Простейший способ аппроксимации краевого условия (2.10) состоит в сносе граничного условия с границы на . Обычно это делают так:

, , (2.12)

ближайшая к узлу точка на .

Таким образом, получена система сеточных уравнений (2.11), (2.12), аппроксимирующая задачу (2.9), (2.10).

Снос граничных условий – это довольно грубый прием аппроксимации граничных условий. Более точным приемом является использование линейной интерполяции. Вместо задания значений путем сноса значений функции с на задают значения с помощью линейной интерполяции по значениям на и искомого решения во внутреннем узле. Поясним ситуацию на примере (рис.9).

Представим как линейную интерполяцию значений и :

.

Отсюда

, . (2.12')

Это соотношение можно рассматривать как граничное условие в узлах сетки из .

Рис.9. Аппроксимация граничного условия

Полученная в итоге система (2.11), (2.12') также аппроксимирует задачу (2.9), (2.10). Будем считать далее сетку просто квадратной.