Счетная устойчивость разностных схем
Мы не будем стремиться к возможной общности определения понятия счетной устойчивости разностных схем, поскольку нас, в основном, будут интересовать простейшие алгоритмические подходы к анализу качества разностных схем, аппроксимирующих задачи математической физики. Рассмотрим задачу в , (2.40) в при . (2.41) Пусть эта задача аппроксимируется разностной задачей в , (2.42) в при . (2.43) Будем говорить, что разностная схема (2.42), (2.43) устойчива, если при любом , характеризующем разностную аппроксимацию, и любом имеет место соотношение , где , постоянные, равномерно ограниченные на и не зависящие от , , и ; пространство сеточных функций, заданных на сетке, построенной там, где определена функция , т.е. в . Счетная устойчивость означает непрерывную зависимость решения от входных данных для дискретных задач. Это понятие аналогично понятию корректности для стационарных задач. В самом деле, пусть наряду с задачей (2.42), (2.43) рассматривается задача с возмущенными исходными данными и . Обозначим ее решение через . Тогда для разности решений этих задач будем иметь , . В силу устойчивости . Отсюда, если возмущения и малы, то и возмущение решения также мало. Введено понятие устойчивости. Возникает вопрос: какие схемы и при каких условиях устойчивы. Решение системы (2.42), (2.43) нетрудно получить формально, запишем ее в виде , а затем последовательно преобразуем: Отсюда легко получить оценку (2.44) Здесь . Для явной схемы отсюда с учетом того, что , получаем . На самом деле здесь считается, что , так как иначе нужно уточнять, как определяется норма оператора в оценках вида , . Достаточным условием устойчивости явной схемы в силу (2.44) будет условие . (2.45) Критерий устойчивости будет выполнен, если . Действительно, из (2.44) при следует, что , т.е. критерий устойчивости выполняется с постоянными , , равномерно ограниченными на . Для неявной схемы, ввиду того что , условие устойчивости согласно (2.44) также задается неравенством . Следующий вопрос: когда выполняется условие ? Чтобы ответить на этот вопрос займемся установлением некоторых фактов для оценки норм. Пусть , , – положительно полуопределенная матрица . Тогда справедливы следующие оценки: 1) если , то при любых ; 2) если и , то ; 3) если и , , то ; 4) если и , то . Доказательство утверждения 1). В силу соотношения имеем . Положим , тогда Так как , , то при . Доказательство утверждения 3). Имеют место равенства . Так как , то . Положим , тогда . Утверждения 2) и 4) очевидны. Из этих оценок вытекает устойчивость неявной схемы и схемы Кранка – Николсона. Таким образом, устойчивость этих схем имеет место при любом соотношении и – шагов сетки по времени и пространственным переменным. Если устойчивость схемы имеет место при любом соотношении и , то схема называется абсолютно устойчивой. Пример. В примере, где , введем пространство как множество сеточных функций, норма в котором определяется так: , , ; , , а скалярное произведение соответственно ; , . Покажем, что для справедливо утверждение , т.е. выполняется неравенство , . Доказательство этого неравенства в нашем примере строится следующим образом. Путем суммирования по частям получаем равенство , . Неравенство (2.46) доказывается точно так же, как неравенство (1.61). Неравенство (2.46) – это больше, чем положительность , это положительная определенность. Таким образом, для рассмотренного нами примера неявная схема и схема Кранка – Николсона абсолютно устойчивы. Об устойчивости явной схемы. Явная разностная схема устойчива только при определенном соотношении шагов по времени и по пространственным переменным. Рассмотрим пример , , , , . Явная схема для этой задачи будет иметь вид , , или , . Введем в пространстве сеточных функций сеточную норму , в и , . Тогда, в предположении, что , т.е. при , получим неравенства . Отсюда следует, что , где . Таким образом, при явная схема для рассматриваемой задачи является устойчивой. Следует отметить, что при явная схема теряет устойчивость. Мы не будем останавливаться на доказательстве этого факта.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (576)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |