Аппроксимация нестационарных задач
Рассмотрим параболическое уравнение L в (2.29) с краевым условием на (2.30) и начальным условием в . (2.31) Аппроксимацию этой задачи проведем в два этапа. Вначале аппроксимируем эту задачу в области по пространственным переменным. Для этого все производные по пространственным переменным аппроксимируем разностными отношениями, затем аппроксимируем граничные условия (2.30). В итоге мы получим дифференциально-разностное уравнение и начально-краевые условия L в , на , в . Здесь L , сеточные операторы, , , , сеточные функции. Предположим, что мы можем исключить с помощью краевых условий значения на из разностного уравнения. Тогда мы приходим к следующей задаче , , где , , функции от . Сеточные функции и заданы на . Эта задача представляет собой задачу Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно компонент (значений) сеточной функции . Рассмотрим эту задачу Коши , (2.32) при . (2.33) Предположим, что оператор не зависит от времени. Рассмотрим простейшие аппроксимации этой задачи Коши по времени. Для удобства записи индекс будем опускать. Зависимость сеточных функций от времени будем указывать с помощью верхнего индекса. Введем равномерную сетку узлов по времени шага на промежутке . Обозначим через множество узлов сетки по времени. Введем обозначения , . Наиболее простыми и употребительными аппроксимациями задачи (2.32), (2.33) являются явная и неявная схемы. Явная схема имеет вид , , (2.34) неявная схема , . (2.35) Явная схема потому и называется явной, что позволяет вести счет по времени по простым, рекуррентным, ''явным'' формулам. Наряду со схемами (2.34), (2.35) большое распространение имеет схема второго порядка аппроксимации по времени – схема Кранка – Николсона , , (2.36) где или . Схемы (2.34)-(2.36) называются двухслойными. Приведем пример многослойной схемы: , . Для этих схем требует уточнения вопрос о начале счета. Разрешая схемы (2.34)-(2.36) относительно , получим, что для всех трех схем определяется из следующего рекуррентного соотношения: , . (2.37) Оператор называют оператором шага, а оператор оператором источника. Так: - для явной схемы , ; - для неявной схемы , ; - для схемы Кранка - Николсона , . Представление (2.37) называется канонической формой двухслойных схем. Уравнения вида (2.29) при условии, что L не содержит производных по времени называются эволюционными. Это название связано с тем, какого рода процессы описываются этими уравнениями. В некоторых случаях при построении аппроксимации нестационарных задач удобно записывать разностные уравнения в виде системы двух уравнений, одно из которых аппроксимирует дифференциальное уравнение, а второе – начально-краевые условия. В этом случае разностный аналог задачи (2.29), (2.30), (2.31) примет вид в , (2.38) на (2.39) Таким образом, так же как и для стационарных задач, для начально-краевых задач строится сеточная задача, представляющая собой систему линейных алгебраических уравнений. Так же как и для стационарных задач, вводится понятие аппроксимации исходной задачи сеточной задачей. Говорят, что задача (2.38), (2.39) аппроксимирует исходную задачу на точном решении с порядком по пространственным переменным и с порядком по времени, если , . Как и для стационарных задач, оператор сопоставляет функции сеточную функцию из пространства сеточных функций, заданных на . Например, . Предположив, что решение задачи (2.29)-(2.31) имеет вторые производные по времени, можно показать, что схемы (2.34), (2.35) имеют первый порядок аппроксимации по времени. В этом можно убедиться, используя разложение точного решения по формуле Тейлора. Что касается схемы (2.36), то при достаточной гладкости точного решения она имеет второй порядок аппроксимации по времени. Пример. Рассмотрим начально-краевую задачу в , , на , в . Введем , В качестве аппроксимирующей примем задачу, записанную в операторной форме: в , на , в . Рассмотрим простейшую явную аппроксимацию: , , , . Тогда в , на , в . Каноническая форма записи этой двухслойной схемы имеет вид , , , где , . Неявная схема для рассматриваемой начально-краевой задачи имеет вид , , , . Схема Кранка – Николсона , , , .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Личность ребенка как объект и субъект в образовательной технологии: В настоящее время в России идет становление новой системы образования, ориентированного на вхождение... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (680)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |