Уравнение Пуассона в прямоугольнике

Первая краевая задача. В области с границей рассмотрим краевую задачу

, (3.1)

. (3.2)

Такая задача возникает, например, при отыскании положения равновесия тонкой упругой однородной мембраны, закрепленной на границе и находящейся под воздействием внешней силы . Потенциальная энергия этой мембраны задается интегралом

, (3.3)

где

.

Согласно принципу Гамильтона, равновесное положение мембраны достигается для функции, реализующей минимум функционала (3.3) на множестве допустимых функций – это эквивалентная формулировка краевой задачи (3.1), (3.2). Множество допустимых функций образует пространство , которое вводится так же, как и в одномерном случае: это пространство функций, имеющих первые производные и удовлетворяющих краевому условию (3.2). Норма в определяется так:

.

Введем пространство пространство функций, имеющих производные первого и второго порядка и удовлетворяющих условию (3.2). Норма в этом пространстве определяется так:

.

Как и в одномерном случае, можно показать, что решение задачи (3.1), (3.2) доставляет минимум функционалу (3.3). Верно и обратное: функция из , доставляющая минимум функционалу (3.3), является решением задачи (3.1), (3.2). Вычисляя вариацию функционала (3.3) и приравнивая ее нулю, получим условие минимума функционала (3.3) в виде

,

где произвольная функция из .

Рассмотрим билинейную форму

, ,

определенную на функциях из . Тогда условие минимума можно переписать в виде

. (3.4)

Равенство (3.4) можно рассматривать как уравнение для нахождения решения краевой задачи (3.1), (3.2) в обобщенной постановке.

Именно обобщенным решением задачи (3.1), (3.2) из пространства называют функцию, удовлетворяющую (3.4) при произвольной функции из пространства .

Для того, чтобы решение задачи (3.1), (3.2) принадлежало , правая часть должна принадлежать пространству , т.е. иметь конечную норму:

.

Для существования обобщенного решения достаточно, чтобы для любых функций был ограничен интеграл

.

Легко решается вопрос о единственности обобщенного решения задачи (3.1), (3.2). Для этого используется неравенство

. (3.5)

Это неравенство доказывается аналогично неравенству (1.22). Если неравенство (3.5) доказано, то дальнейшее просто. Пусть у задачи (3.1), (3.2) имеется два обобщенных решения и . Тогда, согласно (3.4):

.

Следовательно, в силу (3.5) .

Вторая краевая задача. Вторую краевую задачу рассмотрим не для уравнения Пуассона, а для чуть более общего уравнения

, , (3.6)

, (3.7)

где производная по направлению внешней нормали к .

Уравнение (3.6) является уравнением Эйлера для функционала

. (3.8)

Решение задачи (3.6), (3.7) доставляет минимум функционалу (3.8) на множестве допустимых функций, представляющих собой пространство функций . Верно и обратное: функция из , доставляющая минимум (3.8), является решением задачи (3.6), (3.7). Доказывается это точно так же, как в одномерном случае.

Вычислим вариацию функционала (3.8) и приравняем ее нулю.

Получим

,

где произвольная функция из . Это условие минимума функционала (3.8).

Введем в рассмотрение билинейную форму

, ,

определенную на функциях из , и перепишем условие минимума в виде

(3.9)

Обобщенное решение задачи (3.6), (3.7) определяется как функция из , удовлетворяющая (3.9) при произвольной функции из .

Здесь следует обратить внимание на то, что как задача минимизации функционала (3.8), так и задача по определению обобщенного решения находятся на множестве функций, ''свободных'' на границе. Это связано с тем, что краевое условие (3.7) естественное. Последнее означает, что функция из , удовлетворяющая (3.9) или доставляющая минимум функционалу (3.8), уже в силу самого этого факта удовлетворяет краевому условию (3.7). В этом нетрудно убедиться, проведя интегрирование по частям в (3.9).

Для задачи (3.6), (3.7) также имеет место единственность обобщенного решения.

Можно показать, что билинейные формы являются скалярными произведениями в пространствах и соответственно. С помощью этих скалярных произведений вводятся энергетические нормы

|| || , ,

|| || , .