Методы решения нестационарных задач
Обратимся к рассмотренным выше аппроксимациям нестационарных задач. Так, для краевой задачи в , , , в явная разностная схема имеет вид , , (2.47) . В чем состоит метод решения системы сеточных уравнений (2.47) – в проведении вычислений по простым рекуррентным формулам. Неявную разностную схему для рассматриваемой задачи можно записать в виде , . (2.48) Таким образом, для реализации шага неявной схемы следует решить систему сеточных уравнений вида . (2.49) Для решения этих систем линейных алгебраических уравнений можно применять различные методы: прямые – метод Гаусса и его различные модификации; итерационные. Если область, для которой решается задача, является прямоугольником, то существуют специфические весьма эффективные методы решения системы (2.49): прямые методы – быстрое дискретное преобразование Фурье, метод циклической редукции; итерационные методы – метод переменных направлений с оптимальным выбором параметров, метод Р.П. Федоренко, или многосеточный метод (multigrid) и др. Для довольно широкого класса задач существуют такие схемы, которые сочетают в себе достоинства явных и неявных схем: простота реализации шага почти как для явной схемы, устойчивость при любом соотношении шагов как для неявной схемы. Продемонстрируем построение этих схем на примере следующей задачи: в , в . Предположим, что оператор не зависит от времени. Здесь мы считаем, что оператор рассматривается на функциях, удовлетворяющих краевым условиям. Относительно оператора предположим, что . Предположим также, что решение систем сеточных уравнений, матрицами которых являются соответствующие сеточные операторы и , легко осуществляется и не требует больших вычислительных затрат. В этом случае удобно рассмотреть следующую схему: , , . Это схема переменных направлений, или продольно-поперечная схема. Происхождение названия схемы становится понятным, если применить ее к решению задачи в , на , в при . Для данной задачи схема примет вид , , , . В первом из этих уравнений схема является явной по направлению переменной и неявной по направлению переменной , а во втором уравнении – наоборот. Еще одним примером широко используемых схем для решения эволюционных задач являются схемы, которые получаются так называемым методом расщепления. Приведем пример схемы, полученной методом расщепления: , , . Для рассмотренного примера, где , имеем , , . У этой схемы много названий: локально-одномерная, дробных шагов, покоординатного расщепления. Обе рассмотренные схемы при и абсолютно устойчивы.
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (506)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |