МКЭ для задачи Неймана

Приближенным решением задачи (3.6), (3.7) назовем функцию , удовлетворяющую уравнению

(3.17)

при произвольной функции .

Система уравнений для определения неизвестных в этом случае имеет вид

, . (3.18)

Число сеточных уравнений в системе (3.18) равно числу всех узлов сетки в .

Заметим, что в силу естественности краевого условия (3.7), на функцию никаких дополнительных ограничений на границе области не накладывается.

Не останавливаясь подробно на вычислениях и используя явные представления и , выпишем результат. Во внутреннем узле сетки уравнения имеют вид

. (3.19)

В отличие от уравнения Пуассона схема для уравнения (3.6) уже не пятиточечная, а семиточечная, что связано с наличием в уравнении дополнительного члена. Очевидно, что усложнение уравнения далее не приведет к расширению шаблона, так как каждая координатная функция не ортогональна не более чем шести другим координатным функциям.

Выпишем уравнение, соответствующее одному из граничных узлов, например, узлу (рис.14):

Рис.14. Область для граничного узла

Это уравнение имеет вид

. (3.20)

То, что уравнение (3.19) аппроксимирует уравнение (3.6), следует из вида сеточного уравнения, а то, что (3.20) аппроксимирует граничное условие (3.7), следует пояснить.

Предположим, что . Тогда уравнене (3.20) перепишется так:

. (3.21)

Решение удовлетворяет краевому условию (3.7), т.е.

.

Используя формулу Тейлора

,

с учетом уравнения (3.6) получим соотношение

.

Отсюда следует, что граничное условие (3.7) можно приблизить равенством

. (3.22)

Сопоставление (3.21) и (3.22) показывает, что (3.21) также аппроксимирует граничное условие (3.7).

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ.. 1

1. ДВУХТОЧЕЧНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА.. 4

1.1. Постановка задачи. Различные формулировки. 4

1.2. Задача с разрывными коэффициентами. 7

1.3. Методы Галеркина и Ритца. 8

1.4. Метод сеток. Составление сеточных уравнений. 10

1.5. Метод конечных элементов. 11

1.6. Составление системы сеточных уравнений МКЭ.. 13

1.7. МКЭ – вторая краевая задача. 14

1.8. Матричная запись систем сеточных уравнений МКЭ.. 15

1.9. Разрешимость системы сеточных уравнений МКЭ.. 17

1.10. МКЭ для уравнений 4-го порядка. 18

1.11. О выборе координатных функций МКЭ.. 20

1.12. МКЭ – инженерный подход. 21

1.13. Сходимость МКЭ.. 26

1.14. Оценки аппроксимации. 28

1.15. Метод сеток. Исследование разрешимости и сходимости. 29

1.16. Метод сеток. Метод энергетических оценок. 31

1.17. О точности оценок погрешности. 34

2. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. МЕТОД СЕТОК 35

2.1. Об уравнениях в частных производных. 35

2.2. Метод сеток для стационарных задач. 37

2.3. Аппроксимация стационарных задач. Общие формулировки. 38

2.4. О корректности сеточных задач. 40

2.5. Аппроксимация нестационарных задач. 41

2.6. Счетная устойчивость разностных схем.. 45

2.7. Методы решения нестационарных задач. 48

3. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ. МКЭ 50

3.1. Уравнение Пуассона в прямоугольнике. 50

3.2. Кусочно-линейные координатные функции. 52

3.3. МКЭ для задачи Дирихле. 54

3.4. МКЭ для задачи Неймана. 55