Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения и неравенства довольно часто встречаются в материалах вступительных экзаменов различных высших учебных заведений. Разделы Единого государственного экзамена по математике также включают данную тематику как в простых случаях (части А и В), так и в более сложных (часть С). Некоторые правила и особенности решения таких уравнений и неравенств изложены в настоящем разделе.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому следует проверять корни подстановкой в исходное уравнение.

При решении уравнений необходимо учитывать следующее:

1) если показатель радикала – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом значение радикала также является неотрицательным;

2) если показатель радикала – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом, в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.

 

Пример 1. Решить уравнение:

Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку корни четной степени, то подкоренные выражения должны быть неотрицательны:

Решение данной системы неравенств есть область допустимых значений переменной (или область определения уравнения).

Возведем обе части уравнения в квадрат:

2

или

Значение не входит в область допустимых значений, поэтому является посторонним корнем для исходного уравнения.

Проверим, удовлетворяет ли х = 4 уравнению, для этого подставим х = 4 в уравнение:

4 = 4, поэтому х = 4 – корень исходного уравнения.

Ответ: х = 4.

Пример 2. Решить уравнение:

 

Решение. Допустимые значения переменной должны удовлетворять системе неравенств:

Областью допустимых значений являются _. Возведем левую и правую части уравнения в квадрат:

Вновь возведем левую и правую части уравнения в квадрат:

Корни могут быть найдены по теореме Виета:

откуда

Корень не входит в область допустимых значений, т. е. является посторонним корнем для исходного уравнения. Проверим корень _, подставив его в уравнение:

Ответ:

Замечание:

Получив выражение можно было заметить, что должно выполняться неравенство или Совмещая эти значения с областью допустимых значений, где получаем единственно возможный корень который и надо было проверить.

Пример 3. Решить уравнение:

Решение. При решении этого уравнения можно сразу ввести замену переменной, обозначив один корень за у, а другой за . Можно идти и традиционным путем, начиная с области допустимых значений.

Областью допустимых значений является решение системы неравенств:

 

Поскольку то уравнение может быть записано в виде:

тогда область допустимых значений удовлетворяет системе,

 

Решим неравенство методом интервалов (рис. 7.1).

 

-9 2 4

Рис. 7.1.Метод интервала.

Область допустимых значений

Обозначим где тогда

 

Пусть тогда

Пусть тогда

Оба корня х = 0 и х = – 5 принадлежат области допустимых значений. Выполним проверку.

Если х = 0, тогда

 

Если х = – 5, тогда

Ответ: х = 0, х = – 5.

Пример 4. Решить уравнение:

Решение. Допустимыми значениями переменной являются Обозначим где .

Уравнение примет вид

По теореме Виета где посторонний корень, не удовлетворяющий ограничению .

Если у = 2, тогда

Полученное биквадратное уравнение сведем к квадратному уравнению заменой , где ,

По теореме Виета Поскольку , то – посторонний корень. Если то откуда Но не входит в область допустимых значений, поэтому .

Сделаем проверку:

Ответ: х = 1.

Пример 5. Решить уравнение:

Решение. Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условиям,

Второе неравенство справедливо для , при этих же значениях переменной левая и правая часть третьего неравенства неотрицательны, поэтому его можно решить возведением в квадрат:

Неравенство выполняется для любых действительных значений переменной. Таким образом, областью допустимых значений переменной являются . Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения:

2

2

Если то

По теореме Виета х₁ = 5, х₂= 1.

Условию удовлетворяет только значение .

Если , то

По теореме Виета , Первое из значений не удовлетворяет условию второе значение не принадлежит области допустимых значений, поэтому оба значения и не являются корнями уравнения. Выполним проверку для :

Ответ:

Замечание. Возможен другой вариант решения: в исходном уравнении подкоренные выражения являются полными квадратами; обозначив получим

и уравнение примет вид :

или

Если то

– оба значения не удовлетворяют условию

Если то

Условию удовлетворяет значение

откуда

Остается лишь выполнить проверку.

В некоторых случаях решение может быть получено дополнением уравнения до формул сокращенного умножения (разности квадратов и кубов, суммы кубов). При этом используется известное правило, что уравнение не изменится, если левую и правую его часть умножить на одно и то же отличное от нуля выражение.

 

Пример 6. Решить уравнение:

Решение. Областью допустимых значений являются все действительные значения переменной. Запишем уравнение в виде и домножим левую и правую часть на неполный квадрат разности так, чтобы в левой части получить формулу суммы кубов:

Заметим, что для любых действительных значений a и b, следовательно, обе части уравнения умножены на одно и то же положительное выражение:

Произведение сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Второй из сомножителей не может обращаться в ноль, так как

для любых действительных значений х, поэтому:

Сделаем проверку:

Ответ: