Иррациональные уравнения
Иррациональные уравнения и неравенства довольно часто встречаются в материалах вступительных экзаменов различных высших учебных заведений. Разделы Единого государственного экзамена по математике также включают данную тематику как в простых случаях (части А и В), так и в более сложных (часть С). Некоторые правила и особенности решения таких уравнений и неравенств изложены в настоящем разделе. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком радикала, называется иррациональным. Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной. При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней, поэтому следует проверять корни подстановкой в исходное уравнение. При решении уравнений необходимо учитывать следующее: 1) если показатель радикала – четное число, то подкоренное выражение должно быть неотрицательно, при этом значение радикала также является неотрицательным; 2) если показатель радикала – нечетное число, то подкоренное выражение может быть любым действительным числом, в этом случае знак радикала совпадает со знаком подкоренного выражения.
Пример 1. Решить уравнение: Решение. Найдем область допустимых значений переменной. Поскольку корни четной степени, то подкоренные выражения должны быть неотрицательны:
Решение данной системы неравенств есть область допустимых значений переменной (или область определения уравнения). Возведем обе части уравнения в квадрат: 2 или Значение не входит в область допустимых значений, поэтому является посторонним корнем для исходного уравнения. Проверим, удовлетворяет ли х = 4 уравнению, для этого подставим х = 4 в уравнение: 4 = 4, поэтому х = 4 – корень исходного уравнения. Ответ: х = 4. Пример 2. Решить уравнение:
Решение. Допустимые значения переменной должны удовлетворять системе неравенств:
Областью допустимых значений являются . Возведем левую и правую части уравнения в квадрат: Вновь возведем левую и правую части уравнения в квадрат: Корни могут быть найдены по теореме Виета: откуда Корень не входит в область допустимых значений, т. е. является посторонним корнем для исходного уравнения. Проверим корень , подставив его в уравнение:
Ответ: Замечание: Получив выражение можно было заметить, что должно выполняться неравенство или Совмещая эти значения с областью допустимых значений, где получаем единственно возможный корень который и надо было проверить. Пример 3. Решить уравнение: Решение. При решении этого уравнения можно сразу ввести замену переменной, обозначив один корень за у, а другой за . Можно идти и традиционным путем, начиная с области допустимых значений. Областью допустимых значений является решение системы неравенств:
Поскольку то уравнение может быть записано в виде: тогда область допустимых значений удовлетворяет системе,
Решим неравенство методом интервалов (рис. 7.1).
Рис. 7.1.Метод интервала. Область допустимых значений Обозначим где тогда
Пусть тогда Пусть тогда
Оба корня х = 0 и х = – 5 принадлежат области допустимых значений. Выполним проверку. Если х = 0, тогда
Если х = – 5, тогда Ответ: х = 0, х = – 5. Пример 4. Решить уравнение: Решение. Допустимыми значениями переменной являются Обозначим где . Уравнение примет вид По теореме Виета где посторонний корень, не удовлетворяющий ограничению . Если у = 2, тогда
Полученное биквадратное уравнение сведем к квадратному уравнению заменой , где , По теореме Виета Поскольку , то – посторонний корень. Если то откуда Но не входит в область допустимых значений, поэтому . Сделаем проверку: Ответ: х = 1. Пример 5. Решить уравнение: Решение. Допустимые значения неизвестного удовлетворяют условиям,
Второе неравенство справедливо для , при этих же значениях переменной левая и правая часть третьего неравенства неотрицательны, поэтому его можно решить возведением в квадрат: Неравенство выполняется для любых действительных значений переменной. Таким образом, областью допустимых значений переменной являются . Возведем в квадрат левую и правую часть уравнения: 2 2 Если то
По теореме Виета х1 = 5, х2= 1. Условию удовлетворяет только значение . Если , то По теореме Виета , Первое из значений не удовлетворяет условию второе значение не принадлежит области допустимых значений, поэтому оба значения и не являются корнями уравнения. Выполним проверку для :
Ответ: Замечание. Возможен другой вариант решения: в исходном уравнении подкоренные выражения являются полными квадратами; обозначив получим и уравнение примет вид : или Если то – оба значения не удовлетворяют условию Если то
Условию удовлетворяет значение откуда Остается лишь выполнить проверку. В некоторых случаях решение может быть получено дополнением уравнения до формул сокращенного умножения (разности квадратов и кубов, суммы кубов). При этом используется известное правило, что уравнение не изменится, если левую и правую его часть умножить на одно и то же отличное от нуля выражение.
Пример 6. Решить уравнение: Решение. Областью допустимых значений являются все действительные значения переменной. Запишем уравнение в виде и домножим левую и правую часть на неполный квадрат разности так, чтобы в левой части получить формулу суммы кубов: Заметим, что для любых действительных значений a и b, следовательно, обе части уравнения умножены на одно и то же положительное выражение: Произведение сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Второй из сомножителей не может обращаться в ноль, так как для любых действительных значений х, поэтому: Сделаем проверку: Ответ:
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (1252)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |