Сравнение бесконечно больших функций
На первом уроке мы вычислили три предела с неопределённостью : В перечисленных примерах используется стандартный приём деления числителя и знаменателя на «икс» в старшей степени и всё расписывается подробно. Но правильный ответ легко выяснить ещё до решения! В первом примере в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: В таких случаях говорят, что функции числителя и знаменателя обладают одинаковым порядком роста. Или короче – числитель и знаменатель одного порядка роста. Действительно, в данном пределе и вверху, и внизу находятся квадратичные функции. Мир, равенство, братство. Во втором примере аналогично – в числителе и знаменателе МЫСЛЕННО уберём всех малышей: Здесь знаменатель более высокого порядка, чем числитель. Многочлен 4-ой степени растёт быстрее кубической функции и «перетягивает» предел на ноль. И, наконец, в пределе карлики тоже идут лесом: А в этом примере всё наоборот – числитель более высокого порядка, чем знаменатель. Квадратичная функция растёт быстрее линейной и «перетягивает» предел на «плюс бесконечность». Сделаем краткую теоретическую выжимку. Рассмотрим две произвольные функции , которые определены на бесконечности. 1) Если , где – ненулевая константа, то функции имеют одинаковый порядок роста. Если , то функции называют эквивалентными на бесконечности. 2) Если , то функция более высокого порядка роста, чем . 3) Если , то функция более высокого порядка роста, чем . ! Примечание: при суть выкладок не меняется. Подчеркиваю ещё раз, что данные факты относятся к произвольным функциям, определённым на бесконечности, а не только к многочленам. Но у нас ещё непаханое поле полиномов, поэтому, продолжаем работать с ними… да вы не грустите, для разнообразия я добавлю корней =) Пример 1 Найти предел В наличии неопределённость и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени. Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего: . Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя: . Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля. Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые: . Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности. Оформляем решение: Разделим числитель и знаменатель на В действительности пару шагов можно пропустить, просто я подробно расписал, как в знаменателе под корень вносится . Пример 2 Найти предел Это пример для самостоятельного решения. Постарайтесь провести рассуждения по образцу первого примера. Также заметьте, что здесь неопределённость , что необходимо отразить в решении. Примерный образец чистового оформления примера в конце урока. Во избежание недочёта, всегда анализируйте, какая неопределённость получается в пределах рассматриваемого вида. Помимо неопределённости может встретиться неопределённость либо . Во всех четырёх случаях числитель и знаменатель необходимо разделить на «икс» в старшей степени. Пример 3 Найти предел Слишком трудный предел? Лёгкий испуг от хлопушки. Главное, грамотно управиться с радикалами. Проведём предварительный анализ: Сначала выясним старшую степень числителя. Там сумма двух корней. Под корнем отбросим младшее слагаемое: и уберём константу: . Под корнем отбросим все младшие слагаемые: . Разбираемся с нижним этажом. Под корнем отбрасываем константу: . У многочлена старшая степень равна двум. Сравниваем старшие степени: , следовательно, числитель более высокого порядка роста, чем знаменатель, и сразу можно сказать, что предел будет равен бесконечности. Оформляем решение, я распишу его максимально подробно: Разделим числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени: : Ну и на всякий случай напоминаю формулу , по которой выполняется деление: Другие члены знаменателя: Правила действий с корнями можно найти на странице Математические формулы и таблицы в методичке Горячие формулы школьного курса математики. Также на действиях с радикалами я подробно останавливался при нахождении производных. Пример 4 Найти предел Это более простой пример для самостоятельного решения. В предложенном примере снова неопределённость ( более высокого порядка роста, чем корень ).
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (2464)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |