Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования

В теории автоматического управления собственные значения часто называют характеристическими числами, а собственные векторы – характеристическими векторами. Это очень важные понятия, т.к. собственные значения системы определяют её динамические свойства (устойчивость, быстродействие и др.)

Для введения указанных определений обратимся к векторно-матричному уравнению (3.12). Поставим вопрос, существует ли вектор , который имеет такое же направление в векторном пространстве, как и вектор . Если такой вектор существует, то должен быть пропорционален , т.е.

где - коэффициент пропорциональности (скаляр).

Эта задача известна как задача о характеристических числах. Значение для которого уравнение (3.15) имеет решение называется характеристическим числом матрицы преобразования . Соответствующий вектор решения называется собственным (характеристическим) вектором матрицы .

Соотношение (3.15) можно переписать в виде однородного уравнения

(3.16)

Данное уравнение имеет решение только в том случае, когда

Если раскрыть определитель, то получим так называемое характеристическое уравнение

(3.18)

Корни характеристического уравнения равны собственным значениям матрицы A. Они могут быть как действительными, так и комплексными.

Особый интерес представляет коэффициенты характеристического уравнения (3.18) С целью их оценки перепишем (3.18) в виде произведения сомножителей.

(3.19)

и подставим значение В итоге получим

т.е. произведение характеристических чисел равно определителю матрицы .

Коэффициент можно получить раскрывая (3.19) и определитель (3.17) и приравнивая коэффициенты характеристических уравнений при

т.е. сумма собственных значений квадратной матрицы равна сумме её диагональных элементов. Последняя получила особое название – след матрицы:

Покажем справедливость соотношений (3.20) и (3.21) на основе примера квадратной матрицы размером 2*2:

С другой стороны

Отсюда

Понятие следа матрицы использовано в алгоритме Бохера, который применяют для получения коэффициентов характеристического уравнения (3.18). Обозначив след матрицы алгоритм Бохера можно представить в виде следующей итерационной процедуры:

или в развёрнутой форме:

Пример 3.9. Найти характеристическое уравнение матрицы

Использование алгоритма (3.23) при n = 3 требует вычисления трёх следов

Далее в соответствии с формулой Бохера имеем:

Отсюда характеристическое уравнение равно