Решение уравнений состояния в функции времени

Полное решение уравнения состояния (4.24) можно получить, применив теорему свёртки Лапласа к уравнению (4.28):

где - матрица перехода в функции времени.

Трудность дальнейшего решения (4.37) связана с определением интеграла при произвольном векторе входа Однако в инженерной практике наибольший интерес представляют переходные характеристики, для получения которых следует положить . В этом случае вычисление интеграла значительно упрощается.

Определим сначала переходную матрицу Ф(t) в виде степенного ряда путём решения однородного уравнения состояния

Положим

где - квадратные матрицы, при этом (очевидное значение, получаемое из (4.39) при t = 0).

Подставив (4.39) в (4.38), получим соотношение

из которого при t = 0 имеем

Далее после дифференцирования (4.40) получим следующее выражение

из которого при t = 0 определим, что

или

Используя подобную процедуру, получим в итоге рекуррентное соотношение, связывающее

из которого общую формулу вычисления коэффициентов

Таким образом, переходная матрица имеет вид экспоненциального матричного ряда:

Это выражение часто называют матричным экспоненциалом. Такая форма Ф(t) позволяет выявить ряд полезных свойств матрицы перехода:

1) т.е.

2) т.е.

3)

4)

5)

6)

Здесь следует заметить, что вычисление матричного экспоненциала осуществляется приближённо. При этом точность расчёта в значительной мере определяется скоростью сходимости ряда (4.42). Не вдаваясь в эту проблему можно только рекомендовать использование для вычисления матрицы перехода в виде степенного ряда специальных математических пакетов, в частности MatLab.

В ряде случаев, обычно для динамических систем невысокого порядка, можно применять точные методы расчёта Ф(t). К ним относятся выше рассмотренные способы определения Ф(s) в виде передаточных функций.

Для получения матрицы Ф(t) на основе Ф(s) целесообразно использовать метод разложения передаточных функций на сумму элементарных составляющих с последующим применением обратного преобразования Лапласа. Рассмотрим эту методику применительно к Ф(s), полученной в примере 4.6.

Пример 4.7. Вычислить матрицу перехода Ф(t) по её передаточной матрице Ф(s), определённой с помощью алгоритма Фаддеева-Леверье в примере 4.6:

Сначала разложим передаточные функции на элементарные составляющие с помощью вычетов:

т.к.

т.к.

т.к.

т.к.

Далее, используя таблицу преобразования Лапласа, получим искомую Ф(t):

Теперь можно вернуться к определению переходной характеристики по уравнению (4.37), используя соответствующие свойства матричного экспоненциала. Будем искать решение при на интервале , где начальное время. В этом случае имеем

При расчёте переходных процессов удобнее пользоваться дискретным вариантом полученного решения. Для этого положим и где T – шаг дискретизации вычислительного процесса. После ввода данного обозначения соотношение (4.42) можно записать в следующем виде:

где

или в целом для стандартной формы уравнений состояния:

где k – номер шага дискретизации (k = 0, 1, 2…).

Следует заметить, что решение уравнения состояния в виде (4.43) позволяет определять переходные процессы в дискретных системах, в которых управляющее воздействие U(t) представляет собой последовательность прямоугольных импульсов. При этом интервал может изменяться от одного шага дискретизации к другому.

Следует заметить, что временные характеристики системы, описываемой уравнениями состояния, можно получить, воспользовавшись дискретной аппроксимацией этих уравнений с некоторым шагом T. Очевидно величина T ограничивается допустимой погрешностью вычислений. Разработанные в математике способы решения задачи аппроксимации образуют группу численных методов интегрирования дифференциальных уравнений, среди которых наибольшее применение в теории управления находят алгоритмы Эйлера и Рунге-Кутты.

Метод Эйлера основан на аппроксимации производной в виде разности первого порядка:

В результате уравнение состояния будет иметь следующий вид

или

является переходной матрицей, которая по существу представляет первые два члена матричного ряда (4.42). Поэтому для достижения требуемой точности в методе Эйлера необходимо использовать очень малое значение T, что ведёт к значительному увеличению объёма вычислений и соответственно накоплению вычислительной погрешности.

Более эффективными методами численного интегрирования являются алгоритмы Рунге-Кутты. Они используют аппроксимацию первых пяти членов ряда (4.42). Эти алгоритмы лежат в основе современных математических пакетов моделирования динамических систем, в частности, Simulink (приложение MatLab).